MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfilss Structured version   Unicode version

Theorem elfilss 20671
Description: An element belongs to a filter iff any element below it does. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfilss  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  e.  F  <->  E. t  e.  F  t  C_  A ) )
Distinct variable groups:    t, F    t, X    t, A

Proof of Theorem elfilss
StepHypRef Expression
1 ibar 504 . . 3  |-  ( A 
C_  X  ->  ( E. t  e.  F  t  C_  A  <->  ( A  C_  X  /\  E. t  e.  F  t  C_  A ) ) )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( E. t  e.  F  t  C_  A  <->  ( A  C_  X  /\  E. t  e.  F  t  C_  A ) ) )
3 filfbas 20643 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
4 elfg 20666 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( A  e.  ( X filGen F )  <-> 
( A  C_  X  /\  E. t  e.  F  t  C_  A ) ) )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( X filGen F )  <-> 
( A  C_  X  /\  E. t  e.  F  t  C_  A ) ) )
65adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  e.  ( X filGen F )  <->  ( A  C_  X  /\  E. t  e.  F  t  C_  A ) ) )
7 fgfil 20670 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( X filGen F )  =  F )
87eleq2d 2474 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( X filGen F )  <-> 
A  e.  F ) )
98adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  e.  ( X filGen F )  <->  A  e.  F ) )
102, 6, 93bitr2rd 284 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  e.  F  <->  E. t  e.  F  t  C_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    e. wcel 1844   E.wrex 2757    C_ wss 3416   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   fBascfbas 18728   filGencfg 18729   Filcfil 20640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-fil 20641
This theorem is referenced by:  trfil3  20683
  Copyright terms: Public domain W3C validator