Theorem elfilnemp 14935

Description: An element of a filter can't be empty.

Assertion

Ref	Expression
elfilnemp	|- ((F e. Fil /\ A e. F) -> A =/= (/))

Proof of Theorem elfilnemp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filesn 10268	. 2 |- (F e. Fil -> -. (/) e. F)
2		nelneq 1985	. . . 4 |- ((A e. F /\ -. (/) e. F) -> -. A = (/))
3		df-ne 2019	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
4	2, 3	sylibr 217	. . 3 |- ((A e. F /\ -. (/) e. F) -> A =/= (/))
5	4	ex 402	. 2 |- (A e. F -> (-. (/) e. F -> A =/= (/)))
6	1, 5	mpan9 521	1 |- ((F e. Fil /\ A e. F) -> A =/= (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875  Filcfil 10264

This theorem is referenced by:  lvsovso3 15040

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-uni 3178  df-fil 10265

Copyright terms: Public domain