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Theorem eleclclwwlkn 24959
Description: A member of an equivalence class according to 
.~. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w  |-  W  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )
erclwwlkn.r  |-  .~  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  W  /\  u  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) t  =  ( u cyclShift  n ) ) }
Assertion
Ref Expression
eleclclwwlkn  |-  ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, E, u    t, N, u    n, V, t, u    t, W, u    n, N    n, W    n, X    n, Y
Allowed substitution hints:    B( u, t, n)    .~ ( u, t, n)    E( n)    X( u, t)    Y( u, t)

Proof of Theorem eleclclwwlkn
Dummy variables  x  y  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erclwwlkn.w . . . . 5  |-  W  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )
2 erclwwlkn.r . . . . 5  |-  .~  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  W  /\  u  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) t  =  ( u cyclShift  n ) ) }
31, 2eclclwwlkn1 24958 . . . 4  |-  ( B  e.  ( W /.  .~  )  ->  ( B  e.  ( W /.  .~  ) 
<->  E. x  e.  W  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } ) )
4 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  =  ( x cyclShift  n )  <->  Y  =  ( x cyclShift  n ) ) )
54rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  n ) ) )
65elrab 3257 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  n ) ) )
7 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
x cyclShift  n )  =  ( x cyclShift  k ) )
87eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( Y  =  ( x cyclShift  n )  <->  Y  =  (
x cyclShift  k ) ) )
98cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  n
)  <->  E. k  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k ) )
10 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  X  ->  (
y  =  ( x cyclShift  n )  <->  X  =  ( x cyclShift  n ) ) )
1110rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  X  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  n ) ) )
1211elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  <->  ( X  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) X  =  ( x cyclShift  n ) ) )
13 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  (
x cyclShift  n )  =  ( x cyclShift  m ) )
1413eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( X  =  ( x cyclShift  n )  <->  X  =  (
x cyclShift  m ) ) )
1514cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  n
)  <->  E. m  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  m ) )
161eleclclwwlknlem2 24944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... N )  /\  X  =  ( x cyclShift  m ) )  /\  ( X  e.  W  /\  x  e.  W
) )  ->  ( E. k  e.  (
0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
1716ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... N )  /\  X  =  ( x cyclShift  m ) )  ->  (
( X  e.  W  /\  x  e.  W
)  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
1817rexlimiva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  m
)  ->  ( ( X  e.  W  /\  x  e.  W )  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
1915, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  n
)  ->  ( ( X  e.  W  /\  x  e.  W )  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2019expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  n
)  ->  ( X  e.  W  ->  ( x  e.  W  ->  ( E. k  e.  (
0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
2120impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  n
) )  ->  (
x  e.  W  -> 
( E. k  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2212, 21sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( x  e.  W  -> 
( E. k  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2322com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  W  ->  ( X  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  ->  ( E. k  e.  (
0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2423ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  ->  ( X  e. 
{ y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  /\  X  e.  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } )  -> 
( E. k  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
269, 25syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  /\  X  e.  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  n )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
2726anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  /\  X  e.  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } )  -> 
( ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  n ) )  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
286, 27syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  /\  X  e.  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } )  -> 
( Y  e.  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2928ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  ->  ( X  e. 
{ y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
30 eleq2 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } ) )
31 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } ) )
3231bibi1d 319 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )  <->  ( Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
3330, 32imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )  <->  ( X  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
3433adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  ->  ( ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )  <->  ( X  e. 
{ y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
3529, 34mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
3635ex 434 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W )  ->  ( B  =  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
3736rexlimdva 2949 . . . 4  |-  ( B  e.  ( W /.  .~  )  ->  ( E. x  e.  W  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( X  e.  B  -> 
( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
383, 37sylbid 215 . . 3  |-  ( B  e.  ( W /.  .~  )  ->  ( B  e.  ( W /.  .~  )  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
3938pm2.43i 47 . 2  |-  ( B  e.  ( W /.  .~  )  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
4039imp 429 1  |-  ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   {copab 4514   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   /.cqs 7328   0cc0 9509   ...cfz 11697   cyclShift ccsh 12770   ClWWalksN cclwwlkn 24875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-hash 12408  df-word 12545  df-concat 12547  df-substr 12549  df-csh 12771  df-clwwlk 24877  df-clwwlkn 24878
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