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Theorem eleclclwwlkn 30507
Description: A member of an equivalence class according to 
.~. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w  |-  W  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )
erclwwlkn.r  |-  .~  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  W  /\  u  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) t  =  ( u cyclShift  n ) ) }
Assertion
Ref Expression
eleclclwwlkn  |-  ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, E, u    t, N, u    n, V, t, u    t, W, u    n, N    n, W    n, X    n, Y
Allowed substitution hints:    B( u, t, n)    .~ ( u, t, n)    E( n)    X( u, t)    Y( u, t)

Proof of Theorem eleclclwwlkn
Dummy variables  x  y  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erclwwlkn.w . . . . 5  |-  W  =  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )
2 erclwwlkn.r . . . . 5  |-  .~  =  { <. t ,  u >.  |  ( t  e.  W  /\  u  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) t  =  ( u cyclShift  n ) ) }
31, 2eclclwwlkn1 30506 . . . 4  |-  ( B  e.  ( W /.  .~  )  ->  ( B  e.  ( W /.  .~  ) 
<->  E. x  e.  W  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } ) )
4 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  =  ( x cyclShift  n )  <->  Y  =  ( x cyclShift  n ) ) )
54rexbidv 2736 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  n ) ) )
65elrab 3117 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  n ) ) )
7 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
x cyclShift  n )  =  ( x cyclShift  k ) )
87eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( Y  =  ( x cyclShift  n )  <->  Y  =  (
x cyclShift  k ) ) )
98cbvrexv 2948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  n
)  <->  E. k  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k ) )
10 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  X  ->  (
y  =  ( x cyclShift  n )  <->  X  =  ( x cyclShift  n ) ) )
1110rexbidv 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  X  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  n ) ) )
1211elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  <->  ( X  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) X  =  ( x cyclShift  n ) ) )
13 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  (
x cyclShift  n )  =  ( x cyclShift  m ) )
1413eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( X  =  ( x cyclShift  n )  <->  X  =  (
x cyclShift  m ) ) )
1514cbvrexv 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  n
)  <->  E. m  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  m ) )
161eleclclwwlknlem2 30491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... N )  /\  X  =  ( x cyclShift  m ) )  /\  ( X  e.  W  /\  x  e.  W
) )  ->  ( E. k  e.  (
0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
1716ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... N )  /\  X  =  ( x cyclShift  m ) )  ->  (
( X  e.  W  /\  x  e.  W
)  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
1817rexlimiva 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  m
)  ->  ( ( X  e.  W  /\  x  e.  W )  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
1915, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  n
)  ->  ( ( X  e.  W  /\  x  e.  W )  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2019expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. n  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  n
)  ->  ( X  e.  W  ->  ( x  e.  W  ->  ( E. k  e.  (
0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
2120impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( x cyclShift  n
) )  ->  (
x  e.  W  -> 
( E. k  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2212, 21sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( x  e.  W  -> 
( E. k  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2322com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  W  ->  ( X  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  ->  ( E. k  e.  (
0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k
)  <->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2423ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  ->  ( X  e. 
{ y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  /\  X  e.  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } )  -> 
( E. k  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  k )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
269, 25syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  /\  X  e.  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } )  -> 
( E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  n )  <->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
2726anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  /\  X  e.  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } )  -> 
( ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( x cyclShift  n ) )  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
286, 27syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  /\  X  e.  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } )  -> 
( Y  e.  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
2928ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  ->  ( X  e. 
{ y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
30 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } ) )
31 eleq2 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) } ) )
3231bibi1d 319 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )  <->  ( Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
3330, 32imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N
) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )  <->  ( X  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
3433adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  ->  ( ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )  <->  ( X  e. 
{ y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( Y  e.  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
3529, 34mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W
)  /\  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) } )  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
3635ex 434 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  x  e.  W )  ->  ( B  =  {
y  e.  W  |  E. n  e.  (
0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n
) }  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
3736rexlimdva 2841 . . . 4  |-  ( B  e.  ( W /.  .~  )  ->  ( E. x  e.  W  B  =  { y  e.  W  |  E. n  e.  ( 0 ... N ) y  =  ( x cyclShift  n ) }  ->  ( X  e.  B  -> 
( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
383, 37sylbid 215 . . 3  |-  ( B  e.  ( W /.  .~  )  ->  ( B  e.  ( W /.  .~  )  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
3938pm2.43i 47 . 2  |-  ( B  e.  ( W /.  .~  )  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
4039imp 429 1  |-  ( ( B  e.  ( W /.  .~  )  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  e.  B  <->  ( Y  e.  W  /\  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   {crab 2719   {copab 4349   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   /.cqs 7100   0cc0 9282   ...cfz 11437   cyclShift ccsh 12425   ClWWalksN cclwwlkn 30414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ec 7103  df-qs 7107  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-substr 12233  df-csh 12426  df-clwwlk 30416  df-clwwlkn 30417
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