Theorem ele3lem 8588

Description: Lemma for ele3 8595.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
ele3lem	|- _e <_ 3

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem ele3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 7163	. . . . 5 |- 2 e. RR
2	1	elisseti 2301	. . . 4 |- 2 e. _V
3		erelem1.1	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
4		erelem1.2	. . . . . 6 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}
5	3, 4	erelem1 8581	. . . . 5 |- (F:NN-->RR /\ G:NN-->RR)
6	5	simpli 347	. . . 4 |- F:NN-->RR
7	5	simpri 351	. . . 4 |- G:NN-->RR
8	3, 4	erelem3 8583	. . . 4 |- (z e. NN -> (0 <_ (G` z) /\ (G` z) <_ (F` z)))
9	3, 4	erelem2 8582	. . . 4 |- ( + seq1 F) ~~> 2
10		ltso 6681	. . . . 5 |- < Or RR
11	10	supex 5667	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. _V
12	3, 4	erelem4 8584	. . . 4 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
13	2, 6, 7, 8, 9, 11, 12	cvgcmpubi 8446	. . 3 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ 2
14	3, 4	erelem5 8585	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. RR
15		1re 6598	. . . 4 |- 1 e. RR
16	14, 1, 15	leadd2i 6768	. . 3 |- (sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ 2 <-> (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )) <_ (1 + 2))
17	13, 16	mpbi 206	. 2 |- (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )) <_ (1 + 2)
18	3, 4	erelem6 8586	. 2 |- _e = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
19		df-3 7155	. . 3 |- 3 = (2 + 1)
20		2cn 7164	. . . 4 |- 2 e. CC
21		ax1cn 6422	. . . 4 |- 1 e. CC
22	20, 21	addcomi 6475	. . 3 |- (2 + 1) = (1 + 2)
23	19, 22	eqtri 1908	. 2 |- 3 = (1 + 2)
24	17, 18, 23	3brtr4i 3365	1 |- _e <_ 3

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  {copab 3395  ran crn 3987  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  3c3 7146   seq1 cseq1 7720  ^cexp 7811  !cfa 8183  _eceu 8556

This theorem is referenced by:  ele3 8595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-e 8561

Copyright terms: Public domain