MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldv Structured version   Unicode version

Theorem eldv 21332
Description: The differentiable predicate. A function  F is differentiable at  B with derivative  C iff  F is defined in a neighborhood of  B and the difference quotient has limit  C at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t  |-  T  =  ( Kt  S )
dvval.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
eldv.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) )
eldv.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
eldv.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
eldv.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
Assertion
Ref Expression
eldv  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  F ) C  <-> 
( B  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  C  e.  ( G lim CC  B ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, F    z, C    z, K    z, S
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( z)    G( z)

Proof of Theorem eldv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldv.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2 eldv.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 eldv.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 dvval.t . . . . . 6  |-  T  =  ( Kt  S )
5 dvval.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
64, 5dvfval 21331 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  (
( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  ( ( ( int `  T ) `  A
)  X.  CC ) ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  =  U_ x  e.  ( ( int `  T ) `  A ) ( { x }  X.  (
( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  (
( ( int `  T
) `  A )  X.  CC ) ) )
87simpld 456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
98eleq2d 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. B ,  C >.  e.  ( S  _D  F )  <->  <. B ,  C >.  e.  U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
10 df-br 4290 . . 3  |-  ( B ( S  _D  F
) C  <->  <. B ,  C >.  e.  ( S  _D  F ) )
1110bicomi 202 . 2  |-  ( <. B ,  C >.  e.  ( S  _D  F
)  <->  B ( S  _D  F ) C )
12 sneq 3884 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  { x }  =  { B } )
1312difeq2d 3471 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  \  { x }
)  =  ( A 
\  { B }
) )
14 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
1514oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )
16 oveq2 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
z  -  x )  =  ( z  -  B ) )
1715, 16oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) )  =  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) ) )
1813, 17mpteq12dv 4367 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )
19 eldv.g . . . . 5  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) )
2018, 19syl6eqr 2491 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  G )
21 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
2220, 21oveq12d 6108 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  =  ( G lim CC  B
) )
2322opeliunxp2 4974 . 2  |-  ( <. B ,  C >.  e. 
U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( B  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  C  e.  ( G lim CC  B ) ) )
249, 11, 233bitr3g 287 1  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  F ) C  <-> 
( B  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  C  e.  ( G lim CC  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    \ cdif 3322    C_ wss 3325   {csn 3874   <.cop 3880   U_ciun 4168   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276    - cmin 9591    / cdiv 9989   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17777   intcnt 18580   lim CC climc 21296    _D cdv 21297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-rest 14357  df-topn 14358  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cnp 18791  df-xms 19854  df-ms 19855  df-limc 21300  df-dv 21301
This theorem is referenced by:  dvcl  21333  perfdvf  21337  dvreslem  21343  dvres2lem  21344  dvidlem  21349  dvcnp  21352  dvcnp2  21353  dvaddbr  21371  dvmulbr  21372  dvcobr  21379  dvcjbr  21382  dvrec  21388  dvcnvlem  21407  dveflem  21410  dvferm1  21416  dvferm2  21418  ftc1  21473  taylthlem1  21797  ulmdvlem3  21826  ftc1cnnc  28391
  Copyright terms: Public domain W3C validator