Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldmgm Structured version   Unicode version

Theorem eldmgm 28430
Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldmgm  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  -u A  e.  NN0 ) )

Proof of Theorem eldmgm
StepHypRef Expression
1 eldif 3468 . 2  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  A  e.  ( ZZ  \  NN ) ) )
2 eldif 3468 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ  \  NN )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  NN ) )
3 elznn 10881 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  <->  ( A  e.  RR  /\  ( A  e.  NN  \/  -u A  e.  NN0 ) ) )
43simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN  \/  -u A  e.  NN0 )
)
54orcanai 911 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  NN )  ->  -u A  e.  NN0 )
6 negneg 9869 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  NN0 )  -> 
-u -u A  =  A )
8 nn0negz 10903 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  NN0  ->  -u -u A  e.  ZZ )
98adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  NN0 )  -> 
-u -u A  e.  ZZ )
107, 9eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
1110ex 434 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ ) )
12 nngt0 10566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
13 nnre 10544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1413lt0neg2d 10124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
0  <  A  <->  -u A  <  0 ) )
1512, 14mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  -u A  <  0 )
1613renegcld 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  -u A  e.  RR )
17 0re 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
18 ltnle 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u A  <  0  <->  -.  0  <_  -u A ) )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  ( -u A  <  0  <->  -.  0  <_  -u A ) )
2015, 19mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  0  <_  -u A )
21 nn0ge0 10822 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u A )
2220, 21nsyl3 119 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  NN0  ->  -.  A  e.  NN )
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  NN0  ->  -.  A  e.  NN ) )
2411, 23jcad 533 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  NN0  ->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  NN ) ) )
255, 24impbid2 204 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  e.  ZZ  /\ 
-.  A  e.  NN ) 
<-> 
-u A  e.  NN0 ) )
262, 25syl5bb 257 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  NN )  <->  -u A  e. 
NN0 ) )
2726notbid 294 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ  \  NN )  <->  -.  -u A  e.  NN0 ) )
2827pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  A  e.  ( ZZ  \  NN ) )  <-> 
( A  e.  CC  /\ 
-.  -u A  e.  NN0 ) )
291, 28bitri 249 1  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  -u A  e.  NN0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    \ cdif 3455   class class class wbr 4433   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490    < clt 9626    <_ cle 9627   -ucneg 9806   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866
This theorem is referenced by:  dmgmaddn0  28431  dmlogdmgm  28432  dmgmaddnn0  28435  lgamgulmlem1  28437  lgamucov  28446
  Copyright terms: Public domain W3C validator