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Theorem eldioph4i 29156
Description: Forward-only version of eldioph4b 29155. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a  |-  W  e. 
_V
eldioph4b.b  |-  -.  W  e.  Fin
eldioph4b.c  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
Assertion
Ref Expression
eldioph4i  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    t, W, w    t, N, w    t, P, w

Proof of Theorem eldioph4i
Dummy variables  a 
b  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq1 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  a  ->  (
t  u.  w )  =  ( a  u.  w ) )
21fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  a  ->  ( P `  ( t  u.  w ) )  =  ( P `  (
a  u.  w ) ) )
32eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  (
( P `  (
t  u.  w ) )  =  0  <->  ( P `  ( a  u.  w ) )  =  0 ) )
43rexbidv 2741 . . . . . 6  |-  ( t  =  a  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  ( t  u.  w ) )  =  0  <->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( a  u.  w
) )  =  0 ) )
5 uneq2 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  b  ->  (
a  u.  w )  =  ( a  u.  b ) )
65fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  b  ->  ( P `  ( a  u.  w ) )  =  ( P `  (
a  u.  b ) ) )
76eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( w  =  b  ->  (
( P `  (
a  u.  w ) )  =  0  <->  ( P `  ( a  u.  b ) )  =  0 ) )
87cbvrexv 2953 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  ( NN0 
^m  W ) ( P `  ( a  u.  w ) )  =  0  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( a  u.  b
) )  =  0 )
94, 8syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( t  =  a  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  ( t  u.  w ) )  =  0  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( a  u.  b
) )  =  0 ) )
109cbvrabv 2976 . . . 4  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
a  u.  b ) )  =  0 }
11 fveq1 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  ( a  u.  b ) )  =  ( P `  (
a  u.  b ) ) )
1211eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( p `  (
a  u.  b ) )  =  0  <->  ( P `  ( a  u.  b ) )  =  0 ) )
1312rexbidv 2741 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  ( a  u.  b ) )  =  0  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( a  u.  b
) )  =  0 ) )
1413rabbidv 2969 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( a  u.  b ) )  =  0 }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
a  u.  b ) )  =  0 } )
1514eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  ( { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( t  u.  w
) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( a  u.  b ) )  =  0 }  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( t  u.  w
) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `
 ( a  u.  b ) )  =  0 } ) )
1615rspcev 3078 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  /\  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
a  u.  b ) )  =  0 } )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
t  u.  w ) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( a  u.  b
) )  =  0 } )
1710, 16mpan2 671 . . 3  |-  ( P  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
t  u.  w ) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( a  u.  b
) )  =  0 } )
1817anim2i 569 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( t  u.  w
) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( a  u.  b ) )  =  0 } ) )
19 eldioph4b.a . . 3  |-  W  e. 
_V
20 eldioph4b.b . . 3  |-  -.  W  e.  Fin
21 eldioph4b.c . . 3  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
2219, 20, 21eldioph4b 29155 . 2  |-  ( { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
t  u.  w ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
t  u.  w ) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( a  u.  b
) )  =  0 } ) )
2318, 22sylibr 212 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721   {crab 2724   _Vcvv 2977    u. cun 3331    i^i cin 3332   (/)c0 3642   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   0cc0 9287   1c1 9288   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ...cfz 11442  mzPolycmzp 29063  Diophcdioph 29098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-hash 12109  df-mzpcl 29064  df-mzp 29065  df-dioph 29099
This theorem is referenced by:  diophren  29157
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