Theorem eldioph4b 35579

Description: Membership in Dioph expressed using a quantified union to add witness variables instead of a restriction to remove them. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldioph4b.a	|- W e. _V
eldioph4b.b	|- -. W e. Fin
eldioph4b.c	|- ( W i^i NN ) = (/)

Assertion

Ref	Expression
eldioph4b	|- ( S e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )

Distinct variable groups:   W, p, t, w   S, p, t, w   N, p, t, w

Proof of Theorem eldioph4b

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldiophelnn0 35531	. 2 |- ( S e. (Dioph ` N ) -> N e. NN0 )
2		eldioph4b.a	. . . . . 6 |- W e. _V
3		ovex 6331	. . . . . 6 |- ( 1 ... N ) e. _V
4	2, 3	unex 6601	. . . . 5 |- ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V
5	4	jctr 545	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN0 /\ ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V ) )
6		eldioph4b.b	. . . . . . 7 |- -. W e. Fin
7	6	intnanr 924	. . . . . 6 |- -. ( W e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin )
8		unfir 7843	. . . . . 6 |- ( ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin -> ( W e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) )
9	7, 8	mto 180	. . . . 5 |- -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin
10		ssun2 3631	. . . . 5 |- ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) )
11	9, 10	pm3.2i 457	. . . 4 |- ( -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) )
12		eldioph2b 35530	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V ) /\ ( -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
13	5, 11, 12	sylancl 667	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
14		elmapssres 7502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
15	10, 14	mpan2 676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
16	15	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
17		ssun1 3630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- W C_ ( W u. ( 1 ... N ) )
18		elmapssres 7502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ W C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
19	17, 18	mpan2 676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
20	19	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
21		uncom 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = ( ( u |` W ) u. ( u |` ( 1 ... N ) ) )
22		resundi 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = ( ( u |` W ) u. ( u |` ( 1 ... N ) ) )
23	21, 22	eqtr4i 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) )
24		elmapi 7499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> u : ( W u. ( 1 ... N ) ) --> NN0 )
25		ffn 5744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u : ( W u. ( 1 ... N ) ) --> NN0 -> u Fn ( W u. ( 1 ... N ) ) )
26		fnresdm 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u Fn ( W u. ( 1 ... N ) ) -> ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = u )
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = u )
28	23, 27	syl5eq 2476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = u )
29	28	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = ( p ` u ) )
30	29	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 <-> ( p ` u ) = 0 ) )
31	30	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 )
32		uneq2 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( u |` W ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) = ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) )
33	32	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( u |` W ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) )
34	33	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( u |` W ) -> ( ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 <-> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 ) )
35	34	rspcev 3183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) /\ ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 ) -> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 )
36	20, 31, 35	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 )
37	16, 36	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
38		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) <-> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) )
39		uneq1 3614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t u. w ) = ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) )
40	39	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( p ` ( t u. w ) ) = ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) )
41	40	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( p ` ( t u. w ) ) = 0 <-> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
42	41	rexbidv 2940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 <-> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
43	38, 42	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) <-> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) ) )
44	37, 43	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
45	44	expimpd 607	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( ( p ` u ) = 0 /\ t = ( u |` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
46	45	ancomsd 456	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
47	46	rexlimiv 2912	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
48		uncom 3611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t u. w ) = ( w u. t )
49		fz1ssnn 11832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 ... N ) C_ NN
50		sslin 3689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 ... N ) C_ NN -> ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ ( W i^i NN ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ ( W i^i NN )
52		eldioph4b.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W i^i NN ) = (/)
53	51, 52	sseqtri 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ (/)
54		ss0 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ (/) -> ( W i^i ( 1 ... N ) ) = (/) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) = (/)
56	55	reseq2i 5119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( w |` (/) )
57		res0 5126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w |` (/) ) = (/)
58	56, 57	eqtri 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = (/)
59	55	reseq2i 5119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` (/) )
60		res0 5126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t |` (/) ) = (/)
61	59, 60	eqtri 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = (/)
62	58, 61	eqtr4i 2455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) )
63		elmapresaun 35538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
64	62, 63	mp3an3 1350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
65	64	ancoms 455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
66	48, 65	syl5eqel 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
67	66	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
68	48	reseq1i 5118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) = ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) )
69		elmapresaunres2 35539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
70	62, 69	mp3an3 1350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
71	70	ancoms 455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
72	68, 71	syl5req 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
73	72	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
74		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> ( p ` ( t u. w ) ) = 0 )
75		reseq1 5116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t u. w ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
76	75	eqeq2d 2437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( t u. w ) -> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) <-> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) ) )
77		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t u. w ) -> ( p ` u ) = ( p ` ( t u. w ) ) )
78	77	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( t u. w ) -> ( ( p ` u ) = 0 <-> ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
79	76, 78	anbi12d 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( t u. w ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
80	79	rspcev 3183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
81	67, 73, 74, 80	syl12anc 1263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
82	81	r19.29an 2970	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
83	47, 82	impbii 191	. . . . . . 7 |- ( E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
84	83	abbii 2557	. . . . . 6 |- { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t | ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) }
85		df-rab 2785	. . . . . 6 |- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } = { t | ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) }
86	84, 85	eqtr4i 2455	. . . . 5 |- { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 }
87	86	eqeq2i 2441	. . . 4 |- ( S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } )
88	87	rexbii 2928	. . 3 |- ( E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } )
89	13, 88	syl6bb 265	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )
90	1, 89	biadan2 647	1 |- ( S e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   {cab 2408   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   |` cres 4853   Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   ^m cmap 7478   Fincfn 7575   0cc0 9541   1c1 9542   NNcn 10611   NN0cn0 10871   ...cfz 11786  mzPolycmzp 35489  Diophcdioph 35522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-hash 12517  df-mzpcl 35490  df-mzp 35491  df-dioph 35523

This theorem is referenced by:  eldioph4i  35580  diophren  35581