Theorem eldioph4b 29176

Description: Membership in Dioph expressed using a quantified union to add witness variables instead of a restriction to remove them. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldioph4b.a	|- W e. _V
eldioph4b.b	|- -. W e. Fin
eldioph4b.c	|- ( W i^i NN ) = (/)

Assertion

Ref	Expression
eldioph4b	|- ( S e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )

Distinct variable groups:   W, p, t, w   S, p, t, w   N, p, t, w

Proof of Theorem eldioph4b

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldiophelnn0 29128	. 2 |- ( S e. (Dioph ` N ) -> N e. NN0 )
2		eldioph4b.a	. . . . . 6 |- W e. _V
3		ovex 6137	. . . . . 6 |- ( 1 ... N ) e. _V
4	2, 3	unex 6399	. . . . 5 |- ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V
5	4	jctr 542	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN0 /\ ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V ) )
6		eldioph4b.b	. . . . . . 7 |- -. W e. Fin
7	6	intnanr 906	. . . . . 6 |- -. ( W e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin )
8		unfir 7601	. . . . . 6 |- ( ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin -> ( W e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) )
9	7, 8	mto 176	. . . . 5 |- -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin
10		ssun2 3541	. . . . 5 |- ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) )
11	9, 10	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) )
12		eldioph2b 29127	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V ) /\ ( -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
13	5, 11, 12	sylancl 662	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
14		elmapssres 7258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
15	10, 14	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
17		ssun1 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- W C_ ( W u. ( 1 ... N ) )
18		elmapssres 7258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ W C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
19	17, 18	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
21		uncom 3521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = ( ( u |` W ) u. ( u |` ( 1 ... N ) ) )
22		resundi 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = ( ( u |` W ) u. ( u |` ( 1 ... N ) ) )
23	21, 22	eqtr4i 2466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) )
24		elmapi 7255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> u : ( W u. ( 1 ... N ) ) --> NN0 )
25		ffn 5580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u : ( W u. ( 1 ... N ) ) --> NN0 -> u Fn ( W u. ( 1 ... N ) ) )
26		fnresdm 5541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u Fn ( W u. ( 1 ... N ) ) -> ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = u )
27	24, 25, 26	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = u )
28	23, 27	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = u )
29	28	fveq2d 5716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = ( p ` u ) )
30	29	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 <-> ( p ` u ) = 0 ) )
31	30	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 )
32		uneq2 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( u |` W ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) = ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) )
33	32	fveq2d 5716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( u |` W ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) )
34	33	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( u |` W ) -> ( ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 <-> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 ) )
35	34	rspcev 3094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) /\ ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 ) -> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 )
36	20, 31, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 )
37	16, 36	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
38		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) <-> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) )
39		uneq1 3524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t u. w ) = ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) )
40	39	fveq2d 5716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( p ` ( t u. w ) ) = ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) )
41	40	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( p ` ( t u. w ) ) = 0 <-> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
42	41	rexbidv 2757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 <-> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
43	38, 42	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) <-> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) ) )
44	37, 43	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
45	44	expimpd 603	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( ( p ` u ) = 0 /\ t = ( u |` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
46	45	ancomsd 454	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
47	46	rexlimiv 2856	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
48		uncom 3521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t u. w ) = ( w u. t )
49		fz1ssnn 29175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 ... N ) C_ NN
50		sslin 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 ... N ) C_ NN -> ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ ( W i^i NN ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ ( W i^i NN )
52		eldioph4b.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( W i^i NN ) = (/)
53	51, 52	sseqtri 3409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ (/)
54		ss0 3689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ (/) -> ( W i^i ( 1 ... N ) ) = (/) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) = (/)
56	55	reseq2i 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( w |` (/) )
57		res0 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w |` (/) ) = (/)
58	56, 57	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = (/)
59	55	reseq2i 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` (/) )
60		res0 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t |` (/) ) = (/)
61	59, 60	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = (/)
62	58, 61	eqtr4i 2466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) )
63		elmapresaun 29135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
64	62, 63	mp3an3 1303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
65	64	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
66	48, 65	syl5eqel 2527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
68	48	reseq1i 5127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) = ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) )
69		elmapresaunres2 29136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
70	62, 69	mp3an3 1303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
71	70	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
72	68, 71	syl5req 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
74		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> ( p ` ( t u. w ) ) = 0 )
75		reseq1 5125	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( t u. w ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
76	75	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( t u. w ) -> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) <-> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) ) )
77		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( t u. w ) -> ( p ` u ) = ( p ` ( t u. w ) ) )
78	77	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( t u. w ) -> ( ( p ` u ) = 0 <-> ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
79	76, 78	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t u. w ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
80	79	rspcev 3094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
81	67, 73, 74, 80	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
82	81	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( ( p ` ( t u. w ) ) = 0 -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) ) )
83	82	rexlimdva 2862	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) ) )
84	83	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
85	47, 84	impbii 188	. . . . . . 7 |- ( E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
86	85	abbii 2561	. . . . . 6 |- { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t | ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) }
87		df-rab 2745	. . . . . 6 |- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } = { t | ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) }
88	86, 87	eqtr4i 2466	. . . . 5 |- { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 }
89	88	eqeq2i 2453	. . . 4 |- ( S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } )
90	89	rexbii 2761	. . 3 |- ( E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } )
91	13, 90	syl6bb 261	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )
92	1, 91	biadan2 642	1 |- ( S e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993   u. cun 3347   i^i cin 3348   C_ wss 3349   (/)c0 3658   |` cres 4863   Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   ^m cmap 7235   Fincfn 7331   0cc0 9303   1c1 9304   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ...cfz 11458  mzPolycmzp 29084  Diophcdioph 29119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-hash 12125  df-mzpcl 29085  df-mzp 29086  df-dioph 29120

This theorem is referenced by:  eldioph4i  29177  diophren  29178