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Theorem eldioph4b 30377
Description: Membership in Dioph expressed using a quantified union to add witness variables instead of a restriction to remove them. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a  |-  W  e. 
_V
eldioph4b.b  |-  -.  W  e.  Fin
eldioph4b.c  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
Assertion
Ref Expression
eldioph4b  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } ) )
Distinct variable groups:    W, p, t, w    S, p, t, w    N, p, t, w

Proof of Theorem eldioph4b
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 30329 . 2  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 eldioph4b.a . . . . . 6  |-  W  e. 
_V
3 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
42, 3unex 6582 . . . . 5  |-  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e. 
_V
54jctr 542 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  _V ) )
6 eldioph4b.b . . . . . . 7  |-  -.  W  e.  Fin
76intnanr 913 . . . . . 6  |-  -.  ( W  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin )
8 unfir 7788 . . . . . 6  |-  ( ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  Fin  ->  ( W  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin ) )
97, 8mto 176 . . . . 5  |-  -.  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  Fin
10 ssun2 3668 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) )
119, 10pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( -.  ( W  u.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )
12 eldioph2b 30328 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( W  u.  (
1 ... N ) )  e.  _V )  /\  ( -.  ( W  u.  ( 1 ... N
) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( S  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
135, 11, 12sylancl 662 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
14 elmapssres 7443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( 1 ... N
)  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( u  |`  (
1 ... N ) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )
1510, 14mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
17 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  W  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) )
18 elmapssres 7443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  W  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
1917, 18mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
21 uncom 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  ( ( u  |`  W )  u.  (
u  |`  ( 1 ... N ) ) )
22 resundi 5287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  |`  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  =  ( ( u  |`  W )  u.  ( u  |`  (
1 ... N ) ) )
2321, 22eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  ( u  |`  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) )
24 elmapi 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  u :
( W  u.  (
1 ... N ) ) --> NN0 )
25 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u : ( W  u.  ( 1 ... N
) ) --> NN0  ->  u  Fn  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )
26 fnresdm 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  Fn  ( W  u.  ( 1 ... N
) )  ->  (
u  |`  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  u )
2724, 25, 263syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  =  u )
2823, 27syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  u )
2928fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  ( p `
 u ) )
3029eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) )  =  0  <-> 
( p `  u
)  =  0 ) )
3130biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  0 )
32 uneq2 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w )  =  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )
3332fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  w ) )  =  ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) ) )
3433eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0  <->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  0 ) )
3534rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W )  /\  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) )  =  0 )  ->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 )
3620, 31, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0 )
3716, 36jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) )
38 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  <->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
39 uneq1 3651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  u.  w )  =  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )
4039fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) ) )
4140eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( p `  (
t  u.  w ) )  =  0  <->  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0 ) )
4241rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0  <->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) )
4338, 42anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 )  <->  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4437, 43syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4544expimpd 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( p `  u
)  =  0  /\  t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4645ancomsd 454 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4746rexlimiv 2949 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) )
48 uncom 3648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  u.  w )  =  ( w  u.  t
)
49 fz1ssnn 30376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
50 sslin 3724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  NN  ->  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( W  i^i  NN ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( W  i^i  NN )
52 eldioph4b.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
5351, 52sseqtri 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  (/)
54 ss0 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) 
C_  (/)  ->  ( W  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
5655reseq2i 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( w  |`  (/) )
57 res0 5278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  |`  (/) )  =  (/)
5856, 57eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  (/)
5955reseq2i 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( t  |`  (/) )
60 res0 5278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  |`  (/) )  =  (/)
6159, 60eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  (/)
6258, 61eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )
63 elmapresaun 30336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
w  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N
) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( w  u.  t )  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) )
6462, 63mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( w  u.  t
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6564ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( w  u.  t
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6648, 65syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( t  u.  w
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  (
t  u.  w )  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) )
6848reseq1i 5269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( w  u.  t
)  |`  ( 1 ... N ) )
69 elmapresaunres2 30337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
w  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N
) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( (
w  u.  t )  |`  ( 1 ... N
) )  =  t )
7062, 69mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( w  u.  t )  |`  (
1 ... N ) )  =  t )
7170ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( ( w  u.  t )  |`  (
1 ... N ) )  =  t )
7268, 71syl5req 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
t  =  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  t  =  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) ) )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  0 )
75 reseq1 5267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
u  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) ) )
7675eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  <->  t  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) ) ) )
77 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
p `  u )  =  ( p `  ( t  u.  w
) ) )
7877eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
( p `  u
)  =  0  <->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  0 ) )
7976, 78anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
8079rspcev 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  u.  w
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( t  =  ( ( t  u.  w
)  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 ) )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) )
8167, 73, 74, 80syl12anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) )
8281ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) ) )
8382rexlimdva 2955 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) ) )
8483imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0 
^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) )
8547, 84impbii 188 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  <->  ( t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) )
8685abbii 2601 . . . . . 6  |-  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  =  {
t  |  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 ) }
87 df-rab 2823 . . . . . 6  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  =  {
t  |  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 ) }
8886, 87eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  =  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 }
8988eqeq2i 2485 . . . 4  |-  ( S  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } )
9089rexbii 2965 . . 3  |-  ( E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } )
9113, 90syl6bb 261 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 } ) )
921, 91biadan2 642 1  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785    |` cres 5001    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   0cc0 9492   1c1 9493   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ...cfz 11672  mzPolycmzp 30286  Diophcdioph 30320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-mzpcl 30287  df-mzp 30288  df-dioph 30321
This theorem is referenced by:  eldioph4i  30378  diophren  30379
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