Theorem eldioph4b 35654

Description: Membership in Dioph expressed using a quantified union to add witness variables instead of a restriction to remove them. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldioph4b.a	|- W e. _V
eldioph4b.b	|- -. W e. Fin
eldioph4b.c	|- ( W i^i NN ) = (/)

Assertion

Ref	Expression
eldioph4b	|- ( S e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )

Distinct variable groups:   W, p, t, w   S, p, t, w   N, p, t, w

Proof of Theorem eldioph4b

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldiophelnn0 35606	. 2 |- ( S e. (Dioph ` N ) -> N e. NN0 )
2		eldioph4b.a	. . . . . 6 |- W e. _V
3		ovex 6318	. . . . . 6 |- ( 1 ... N ) e. _V
4	2, 3	unex 6589	. . . . 5 |- ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V
5	4	jctr 545	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN0 /\ ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V ) )
6		eldioph4b.b	. . . . . . 7 |- -. W e. Fin
7	6	intnanr 926	. . . . . 6 |- -. ( W e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin )
8		unfir 7839	. . . . . 6 |- ( ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin -> ( W e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) )
9	7, 8	mto 180	. . . . 5 |- -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin
10		ssun2 3598	. . . . 5 |- ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) )
11	9, 10	pm3.2i 457	. . . 4 |- ( -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) )
12		eldioph2b 35605	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V ) /\ ( -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
13	5, 11, 12	sylancl 668	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
14		elmapssres 7496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
15	10, 14	mpan2 677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
16	15	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
17		ssun1 3597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- W C_ ( W u. ( 1 ... N ) )
18		elmapssres 7496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ W C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
19	17, 18	mpan2 677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
20	19	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
21		uncom 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = ( ( u |` W ) u. ( u |` ( 1 ... N ) ) )
22		resundi 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = ( ( u |` W ) u. ( u |` ( 1 ... N ) ) )
23	21, 22	eqtr4i 2476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) )
24		elmapi 7493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> u : ( W u. ( 1 ... N ) ) --> NN0 )
25		ffn 5728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u : ( W u. ( 1 ... N ) ) --> NN0 -> u Fn ( W u. ( 1 ... N ) ) )
26		fnresdm 5685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u Fn ( W u. ( 1 ... N ) ) -> ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = u )
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = u )
28	23, 27	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = u )
29	28	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = ( p ` u ) )
30	29	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 <-> ( p ` u ) = 0 ) )
31	30	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 )
32		uneq2 3582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( u |` W ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) = ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) )
33	32	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( u |` W ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) )
34	33	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( u |` W ) -> ( ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 <-> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 ) )
35	34	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) /\ ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 ) -> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 )
36	20, 31, 35	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 )
37	16, 36	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
38		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) <-> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) )
39		uneq1 3581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t u. w ) = ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) )
40	39	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( p ` ( t u. w ) ) = ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) )
41	40	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( p ` ( t u. w ) ) = 0 <-> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
42	41	rexbidv 2901	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 <-> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
43	38, 42	anbi12d 717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) <-> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) ) )
44	37, 43	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
45	44	expimpd 608	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( ( p ` u ) = 0 /\ t = ( u |` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
46	45	ancomsd 456	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
47	46	rexlimiv 2873	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
48		uncom 3578	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t u. w ) = ( w u. t )
49		fz1ssnn 11830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 ... N ) C_ NN
50		sslin 3658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 ... N ) C_ NN -> ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ ( W i^i NN ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ ( W i^i NN )
52		eldioph4b.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W i^i NN ) = (/)
53	51, 52	sseqtri 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ (/)
54		ss0 3765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ (/) -> ( W i^i ( 1 ... N ) ) = (/) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) = (/)
56	55	reseq2i 5102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( w |` (/) )
57		res0 5109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w |` (/) ) = (/)
58	56, 57	eqtri 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = (/)
59	55	reseq2i 5102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` (/) )
60		res0 5109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t |` (/) ) = (/)
61	59, 60	eqtri 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = (/)
62	58, 61	eqtr4i 2476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) )
63		elmapresaun 35613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
64	62, 63	mp3an3 1353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
65	64	ancoms 455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
66	48, 65	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
67	66	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
68	48	reseq1i 5101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) = ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) )
69		elmapresaunres2 35614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
70	62, 69	mp3an3 1353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
71	70	ancoms 455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
72	68, 71	syl5req 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
73	72	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
74		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> ( p ` ( t u. w ) ) = 0 )
75		reseq1 5099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t u. w ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
76	75	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( t u. w ) -> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) <-> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) ) )
77		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t u. w ) -> ( p ` u ) = ( p ` ( t u. w ) ) )
78	77	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( t u. w ) -> ( ( p ` u ) = 0 <-> ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
79	76, 78	anbi12d 717	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( t u. w ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
80	79	rspcev 3150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
81	67, 73, 74, 80	syl12anc 1266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
82	81	r19.29an 2931	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
83	47, 82	impbii 191	. . . . . . 7 |- ( E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
84	83	abbii 2567	. . . . . 6 |- { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t | ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) }
85		df-rab 2746	. . . . . 6 |- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } = { t | ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) }
86	84, 85	eqtr4i 2476	. . . . 5 |- { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 }
87	86	eqeq2i 2463	. . . 4 |- ( S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } )
88	87	rexbii 2889	. . 3 |- ( E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } )
89	13, 88	syl6bb 265	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )
90	1, 89	biadan2 648	1 |- ( S e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   {cab 2437   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   |` cres 4836   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ...cfz 11784  mzPolycmzp 35564  Diophcdioph 35597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-mzpcl 35565  df-mzp 35566  df-dioph 35598

This theorem is referenced by:  eldioph4i  35655  diophren  35656