Theorem eldioph4b 30377

Description: Membership in Dioph expressed using a quantified union to add witness variables instead of a restriction to remove them. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldioph4b.a	|- W e. _V
eldioph4b.b	|- -. W e. Fin
eldioph4b.c	|- ( W i^i NN ) = (/)

Assertion

Ref	Expression
eldioph4b	|- ( S e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )

Distinct variable groups:   W, p, t, w   S, p, t, w   N, p, t, w

Proof of Theorem eldioph4b

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldiophelnn0 30329	. 2 |- ( S e. (Dioph ` N ) -> N e. NN0 )
2		eldioph4b.a	. . . . . 6 |- W e. _V
3		ovex 6309	. . . . . 6 |- ( 1 ... N ) e. _V
4	2, 3	unex 6582	. . . . 5 |- ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V
5	4	jctr 542	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN0 /\ ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V ) )
6		eldioph4b.b	. . . . . . 7 |- -. W e. Fin
7	6	intnanr 913	. . . . . 6 |- -. ( W e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin )
8		unfir 7788	. . . . . 6 |- ( ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin -> ( W e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) )
9	7, 8	mto 176	. . . . 5 |- -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin
10		ssun2 3668	. . . . 5 |- ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) )
11	9, 10	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) )
12		eldioph2b 30328	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V ) /\ ( -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
13	5, 11, 12	sylancl 662	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
14		elmapssres 7443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
15	10, 14	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
17		ssun1 3667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- W C_ ( W u. ( 1 ... N ) )
18		elmapssres 7443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ W C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
19	17, 18	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
21		uncom 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = ( ( u |` W ) u. ( u |` ( 1 ... N ) ) )
22		resundi 5287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = ( ( u |` W ) u. ( u |` ( 1 ... N ) ) )
23	21, 22	eqtr4i 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) )
24		elmapi 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> u : ( W u. ( 1 ... N ) ) --> NN0 )
25		ffn 5731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u : ( W u. ( 1 ... N ) ) --> NN0 -> u Fn ( W u. ( 1 ... N ) ) )
26		fnresdm 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u Fn ( W u. ( 1 ... N ) ) -> ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = u )
27	24, 25, 26	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = u )
28	23, 27	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = u )
29	28	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = ( p ` u ) )
30	29	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 <-> ( p ` u ) = 0 ) )
31	30	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 )
32		uneq2 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( u |` W ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) = ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) )
33	32	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( u |` W ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) )
34	33	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( u |` W ) -> ( ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 <-> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 ) )
35	34	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) /\ ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 ) -> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 )
36	20, 31, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 )
37	16, 36	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
38		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) <-> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) )
39		uneq1 3651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t u. w ) = ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) )
40	39	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( p ` ( t u. w ) ) = ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) )
41	40	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( p ` ( t u. w ) ) = 0 <-> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
42	41	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 <-> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
43	38, 42	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) <-> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) ) )
44	37, 43	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
45	44	expimpd 603	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( ( p ` u ) = 0 /\ t = ( u |` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
46	45	ancomsd 454	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
47	46	rexlimiv 2949	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
48		uncom 3648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t u. w ) = ( w u. t )
49		fz1ssnn 30376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 ... N ) C_ NN
50		sslin 3724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 ... N ) C_ NN -> ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ ( W i^i NN ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ ( W i^i NN )
52		eldioph4b.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( W i^i NN ) = (/)
53	51, 52	sseqtri 3536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ (/)
54		ss0 3816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ (/) -> ( W i^i ( 1 ... N ) ) = (/) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) = (/)
56	55	reseq2i 5270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( w |` (/) )
57		res0 5278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w |` (/) ) = (/)
58	56, 57	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = (/)
59	55	reseq2i 5270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` (/) )
60		res0 5278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t |` (/) ) = (/)
61	59, 60	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = (/)
62	58, 61	eqtr4i 2499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) )
63		elmapresaun 30336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
64	62, 63	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
65	64	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
66	48, 65	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
68	48	reseq1i 5269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) = ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) )
69		elmapresaunres2 30337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
70	62, 69	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
71	70	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
72	68, 71	syl5req 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
74		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> ( p ` ( t u. w ) ) = 0 )
75		reseq1 5267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( t u. w ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
76	75	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( t u. w ) -> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) <-> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) ) )
77		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( t u. w ) -> ( p ` u ) = ( p ` ( t u. w ) ) )
78	77	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( t u. w ) -> ( ( p ` u ) = 0 <-> ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
79	76, 78	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t u. w ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
80	79	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
81	67, 73, 74, 80	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
82	81	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( ( p ` ( t u. w ) ) = 0 -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) ) )
83	82	rexlimdva 2955	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) ) )
84	83	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
85	47, 84	impbii 188	. . . . . . 7 |- ( E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
86	85	abbii 2601	. . . . . 6 |- { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t | ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) }
87		df-rab 2823	. . . . . 6 |- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } = { t | ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) }
88	86, 87	eqtr4i 2499	. . . . 5 |- { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 }
89	88	eqeq2i 2485	. . . 4 |- ( S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } )
90	89	rexbii 2965	. . 3 |- ( E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } )
91	13, 90	syl6bb 261	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )
92	1, 91	biadan2 642	1 |- ( S e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   |` cres 5001   Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ^m cmap 7420   Fincfn 7516   0cc0 9492   1c1 9493   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ...cfz 11672  mzPolycmzp 30286  Diophcdioph 30320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-mzpcl 30287  df-mzp 30288  df-dioph 30321

This theorem is referenced by:  eldioph4i  30378  diophren  30379