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Theorem eldioph4b 35654
Description: Membership in Dioph expressed using a quantified union to add witness variables instead of a restriction to remove them. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a  |-  W  e. 
_V
eldioph4b.b  |-  -.  W  e.  Fin
eldioph4b.c  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
Assertion
Ref Expression
eldioph4b  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } ) )
Distinct variable groups:    W, p, t, w    S, p, t, w    N, p, t, w

Proof of Theorem eldioph4b
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 35606 . 2  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 eldioph4b.a . . . . . 6  |-  W  e. 
_V
3 ovex 6318 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
42, 3unex 6589 . . . . 5  |-  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e. 
_V
54jctr 545 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  _V ) )
6 eldioph4b.b . . . . . . 7  |-  -.  W  e.  Fin
76intnanr 926 . . . . . 6  |-  -.  ( W  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin )
8 unfir 7839 . . . . . 6  |-  ( ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  Fin  ->  ( W  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin ) )
97, 8mto 180 . . . . 5  |-  -.  ( W  u.  ( 1 ... N ) )  e.  Fin
10 ssun2 3598 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) )
119, 10pm3.2i 457 . . . 4  |-  ( -.  ( W  u.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )
12 eldioph2b 35605 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( W  u.  (
1 ... N ) )  e.  _V )  /\  ( -.  ( W  u.  ( 1 ... N
) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( S  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
135, 11, 12sylancl 668 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
14 elmapssres 7496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( 1 ... N
)  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( u  |`  (
1 ... N ) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )
1510, 14mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
1615adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
17 ssun1 3597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  W  C_  ( W  u.  (
1 ... N ) )
18 elmapssres 7496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  W  C_  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
1917, 18mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
2019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W ) )
21 uncom 3578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  ( ( u  |`  W )  u.  (
u  |`  ( 1 ... N ) ) )
22 resundi 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  |`  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  =  ( ( u  |`  W )  u.  ( u  |`  (
1 ... N ) ) )
2321, 22eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  ( u  |`  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) )
24 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  u :
( W  u.  (
1 ... N ) ) --> NN0 )
25 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u : ( W  u.  ( 1 ... N
) ) --> NN0  ->  u  Fn  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )
26 fnresdm 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  Fn  ( W  u.  ( 1 ... N
) )  ->  (
u  |`  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  u )
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( u  |`  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  =  u )
2823, 27syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) )  =  u )
2928fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  ( p `
 u ) )
3029eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) )  =  0  <-> 
( p `  u
)  =  0 ) )
3130biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  0 )
32 uneq2 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w )  =  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )
3332fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  w ) )  =  ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) ) )
3433eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( u  |`  W )  ->  (
( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0  <->  ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  (
u  |`  W ) ) )  =  0 ) )
3534rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( u  |`  W )  e.  ( NN0  ^m  W )  /\  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( u  |`  W ) ) )  =  0 )  ->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 )
3620, 31, 35syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0 )
3716, 36jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) )
38 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  <->  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
39 uneq1 3581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  u.  w )  =  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )
4039fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  ( p `  (
( u  |`  (
1 ... N ) )  u.  w ) ) )
4140eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( p `  (
t  u.  w ) )  =  0  <->  (
p `  ( (
u  |`  ( 1 ... N ) )  u.  w ) )  =  0 ) )
4241rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0  <->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) )
4338, 42anbi12d 717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  ->  (
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 )  <->  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( ( u  |`  ( 1 ... N
) )  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4437, 43syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( p `  u
)  =  0 )  ->  ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4544expimpd 608 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( p `  u
)  =  0  /\  t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4645ancomsd 456 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
4746rexlimiv 2873 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  -> 
( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) )
48 uncom 3578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  u.  w )  =  ( w  u.  t
)
49 fz1ssnn 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
50 sslin 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  NN  ->  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( W  i^i  NN ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( W  i^i  NN )
52 eldioph4b.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
5351, 52sseqtri 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  (/)
54 ss0 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) 
C_  (/)  ->  ( W  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
5655reseq2i 5102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( w  |`  (/) )
57 res0 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  |`  (/) )  =  (/)
5856, 57eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  (/)
5955reseq2i 5102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( t  |`  (/) )
60 res0 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  |`  (/) )  =  (/)
6159, 60eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  (/)
6258, 61eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  (
1 ... N ) ) )
63 elmapresaun 35613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
w  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N
) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( w  u.  t )  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) )
6462, 63mp3an3 1353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( w  u.  t
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6564ancoms 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( w  u.  t
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6648, 65syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( t  u.  w
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
6766adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  (
t  u.  w )  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) )
6848reseq1i 5101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( w  u.  t
)  |`  ( 1 ... N ) )
69 elmapresaunres2 35614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
w  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N
) ) )  =  ( t  |`  ( W  i^i  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( (
w  u.  t )  |`  ( 1 ... N
) )  =  t )
7062, 69mp3an3 1353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ( NN0 
^m  W )  /\  t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( w  u.  t )  |`  (
1 ... N ) )  =  t )
7170ancoms 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
( ( w  u.  t )  |`  (
1 ... N ) )  =  t )
7268, 71syl5req 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  -> 
t  =  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) ) )
7372adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  t  =  ( ( t  u.  w )  |`  ( 1 ... N
) ) )
74 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  0 )
75 reseq1 5099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
u  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) ) )
7675eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  <->  t  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) ) ) )
77 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
p `  u )  =  ( p `  ( t  u.  w
) ) )
7877eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
( p `  u
)  =  0  <->  (
p `  ( t  u.  w ) )  =  0 ) )
7976, 78anbi12d 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( t  u.  w )  ->  (
( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( ( t  u.  w )  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) ) )
8079rspcev 3150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  u.  w
)  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( t  =  ( ( t  u.  w
)  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 ) )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) )
8167, 73, 74, 80syl12anc 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  w  e.  ( NN0  ^m  W ) )  /\  ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) )
8281r19.29an 2931 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0 
^m  W ) ( p `  ( t  u.  w ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) )
8347, 82impbii 191 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  ( NN0 
^m  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 )  <->  ( t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 ) )
8483abbii 2567 . . . . . 6  |-  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  =  {
t  |  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 ) }
85 df-rab 2746 . . . . . 6  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  =  {
t  |  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( t  u.  w ) )  =  0 ) }
8684, 85eqtr4i 2476 . . . . 5  |-  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  =  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 }
8786eqeq2i 2463 . . . 4  |-  ( S  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } )
8887rexbii 2889 . . 3  |-  ( E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } )
8913, 88syl6bb 265 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  (
t  u.  w ) )  =  0 } ) )
901, 89biadan2 648 1  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( t  u.  w
) )  =  0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   {cab 2437   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731    |` cres 4836    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ...cfz 11784  mzPolycmzp 35564  Diophcdioph 35597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-mzpcl 35565  df-mzp 35566  df-dioph 35598
This theorem is referenced by:  eldioph4i  35655  diophren  35656
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