Theorem eldioph4b 35725

Description: Membership in Dioph expressed using a quantified union to add witness variables instead of a restriction to remove them. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldioph4b.a	|- W e. _V
eldioph4b.b	|- -. W e. Fin
eldioph4b.c	|- ( W i^i NN ) = (/)

Assertion

Ref	Expression
eldioph4b	|- ( S e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )

Distinct variable groups:   W, p, t, w   S, p, t, w   N, p, t, w

Proof of Theorem eldioph4b

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldiophelnn0 35677	. 2 |- ( S e. (Dioph ` N ) -> N e. NN0 )
2		eldioph4b.a	. . . . . 6 |- W e. _V
3		ovex 6336	. . . . . 6 |- ( 1 ... N ) e. _V
4	2, 3	unex 6608	. . . . 5 |- ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V
5	4	jctr 551	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN0 /\ ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V ) )
6		eldioph4b.b	. . . . . . 7 |- -. W e. Fin
7	6	intnanr 929	. . . . . 6 |- -. ( W e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin )
8		unfir 7857	. . . . . 6 |- ( ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin -> ( W e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) )
9	7, 8	mto 181	. . . . 5 |- -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin
10		ssun2 3589	. . . . 5 |- ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) )
11	9, 10	pm3.2i 462	. . . 4 |- ( -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) )
12		eldioph2b 35676	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( W u. ( 1 ... N ) ) e. _V ) /\ ( -. ( W u. ( 1 ... N ) ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
13	5, 11, 12	sylancl 675	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
14		elmapssres 7514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( 1 ... N ) C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
15	10, 14	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
16	15	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
17		ssun1 3588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- W C_ ( W u. ( 1 ... N ) )
18		elmapssres 7514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ W C_ ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
19	17, 18	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
20	19	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) )
21		uncom 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = ( ( u |` W ) u. ( u |` ( 1 ... N ) ) )
22		resundi 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = ( ( u |` W ) u. ( u |` ( 1 ... N ) ) )
23	21, 22	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) )
24		elmapi 7511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> u : ( W u. ( 1 ... N ) ) --> NN0 )
25		ffn 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u : ( W u. ( 1 ... N ) ) --> NN0 -> u Fn ( W u. ( 1 ... N ) ) )
26		fnresdm 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u Fn ( W u. ( 1 ... N ) ) -> ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = u )
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( u |` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) = u )
28	23, 27	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) = u )
29	28	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = ( p ` u ) )
30	29	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 <-> ( p ` u ) = 0 ) )
31	30	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 )
32		uneq2 3573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( u |` W ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) = ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) )
33	32	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( u |` W ) -> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) )
34	33	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( u |` W ) -> ( ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 <-> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 ) )
35	34	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( u |` W ) e. ( NN0 ^m W ) /\ ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. ( u |` W ) ) ) = 0 ) -> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 )
36	20, 31, 35	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 )
37	16, 36	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
38		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) <-> ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) )
39		uneq1 3572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t u. w ) = ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) )
40	39	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( p ` ( t u. w ) ) = ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) )
41	40	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( p ` ( t u. w ) ) = 0 <-> ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
42	41	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 <-> E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) )
43	38, 42	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) <-> ( ( u |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( ( u |` ( 1 ... N ) ) u. w ) ) = 0 ) ) )
44	37, 43	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
45	44	expimpd 614	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( ( p ` u ) = 0 /\ t = ( u |` ( 1 ... N ) ) ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
46	45	ancomsd 461	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
47	46	rexlimiv 2867	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) -> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
48		uncom 3569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t u. w ) = ( w u. t )
49		fz1ssnn 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 ... N ) C_ NN
50		sslin 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 ... N ) C_ NN -> ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ ( W i^i NN ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ ( W i^i NN )
52		eldioph4b.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W i^i NN ) = (/)
53	51, 52	sseqtri 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ (/)
54		ss0 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W i^i ( 1 ... N ) ) C_ (/) -> ( W i^i ( 1 ... N ) ) = (/) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W i^i ( 1 ... N ) ) = (/)
56	55	reseq2i 5108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( w |` (/) )
57		res0 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w |` (/) ) = (/)
58	56, 57	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = (/)
59	55	reseq2i 5108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` (/) )
60		res0 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t |` (/) ) = (/)
61	59, 60	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = (/)
62	58, 61	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) )
63		elmapresaun 35684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
64	62, 63	mp3an3 1379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
65	64	ancoms 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( w u. t ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
66	48, 65	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
67	66	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) )
68	48	reseq1i 5107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) = ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) )
69		elmapresaunres2 35685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ ( w |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) = ( t |` ( W i^i ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
70	62, 69	mp3an3 1379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ( NN0 ^m W ) /\ t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
71	70	ancoms 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> ( ( w u. t ) |` ( 1 ... N ) ) = t )
72	68, 71	syl5req 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) -> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
73	72	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
74		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> ( p ` ( t u. w ) ) = 0 )
75		reseq1 5105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t u. w ) -> ( u |` ( 1 ... N ) ) = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) )
76	75	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( t u. w ) -> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) <-> t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) ) )
77		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t u. w ) -> ( p ` u ) = ( p ` ( t u. w ) ) )
78	77	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( t u. w ) -> ( ( p ` u ) = 0 <-> ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
79	76, 78	anbi12d 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( t u. w ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) )
80	79	rspcev 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t u. w ) e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) /\ ( t = ( ( t u. w ) |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
81	67, 73, 74, 80	syl12anc 1290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ w e. ( NN0 ^m W ) ) /\ ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
82	81	r19.29an 2917	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) -> E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) )
83	47, 82	impbii 192	. . . . . . 7 |- ( E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) )
84	83	abbii 2587	. . . . . 6 |- { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t | ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) }
85		df-rab 2765	. . . . . 6 |- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } = { t | ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 ) }
86	84, 85	eqtr4i 2496	. . . . 5 |- { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 }
87	86	eqeq2i 2483	. . . 4 |- ( S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } )
88	87	rexbii 2881	. . 3 |- ( E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t | E. u e. ( NN0 ^m ( W u. ( 1 ... N ) ) ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } )
89	13, 88	syl6bb 269	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( S e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )
90	1, 89	biadan2 654	1 |- ( S e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. p e. (mzPoly ` ( W u. ( 1 ... N ) ) ) S = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. w e. ( NN0 ^m W ) ( p ` ( t u. w ) ) = 0 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   |` cres 4841   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ...cfz 11810  mzPolycmzp 35635  Diophcdioph 35668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-mzpcl 35636  df-mzp 35637  df-dioph 35669

This theorem is referenced by:  eldioph4i  35726  diophren  35727