Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph3b Structured version   Unicode version

Theorem eldioph3b 35519
Description: Define Diophantine sets in terms of polynomials with variables indexed by  NN. This avoids a quantifier over the number of witness variables and will be easier to use than eldiophb 35511 in most cases. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph3b  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Distinct variable groups:    A, p, t, u    N, p, t, u

Proof of Theorem eldioph3b
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 35518 . 2  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 nnex 10566 . . 3  |-  NN  e.  _V
3 1z 10918 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
4 nnuz 11145 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uzinf 12129 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -.  NN  e.  Fin )
63, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  NN  e.  Fin
7 elfznn 11779 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( 1 ... N )  ->  p  e.  NN )
87ssriv 3411 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
9 eldioph2b 35517 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
106, 8, 9mpanr12 689 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
112, 10mpan2 675 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
121, 11biadan2 646 1  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2414   E.wrex 2715   _Vcvv 3022    C_ wss 3379    |` cres 4798   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    ^m cmap 7427   Fincfn 7524   0cc0 9490   1c1 9491   NNcn 10560   NN0cn0 10820   ZZcz 10888   ...cfz 11735  mzPolycmzp 35476  Diophcdioph 35509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-hash 12466  df-mzpcl 35477  df-mzp 35478  df-dioph 35510
This theorem is referenced by:  eldioph3  35520  eldiophss  35529  diophrex  35530
  Copyright terms: Public domain W3C validator