Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph3b Structured version   Unicode version

Theorem eldioph3b 29115
Description: Define Diophantine sets in terms of polynomials with variables indexed by  NN. This avoids a quantifier over the number of witness variables and will be easier to use than eldiophb 29107 in most cases. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph3b  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Distinct variable groups:    A, p, t, u    N, p, t, u

Proof of Theorem eldioph3b
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 29114 . 2  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 nnex 10340 . . 3  |-  NN  e.  _V
3 1z 10688 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
4 nnuz 10908 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uzinf 11800 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -.  NN  e.  Fin )
63, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  NN  e.  Fin
7 elfznn 11490 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( 1 ... N )  ->  p  e.  NN )
87ssriv 3372 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
9 eldioph2b 29113 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
106, 8, 9mpanr12 685 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
112, 10mpan2 671 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
121, 11biadan2 642 1  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2728   _Vcvv 2984    C_ wss 3340    |` cres 4854   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    ^m cmap 7226   Fincfn 7322   0cc0 9294   1c1 9295   NNcn 10334   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ...cfz 11449  mzPolycmzp 29070  Diophcdioph 29105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-hash 12116  df-mzpcl 29071  df-mzp 29072  df-dioph 29106
This theorem is referenced by:  eldioph3  29116  eldiophss  29125  diophrex  29126
  Copyright terms: Public domain W3C validator