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Theorem eldioph2lem2 35323
Description: Lemma for eldioph2 35324. Construct necessary renaming function for one direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2lem2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Distinct variable groups:    N, c    S, c    A, c

Proof of Theorem eldioph2lem2
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 760 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  -.  S  e.  Fin )
2 fzfi 12182 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
3 difinf 7847 . . . 4  |-  ( ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  -.  ( S  \ 
( 1 ... N
) )  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 666 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  -.  ( S  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
5 fzfi 12182 . . . 4  |-  ( 1 ... A )  e. 
Fin
6 diffi 7809 . . . 4  |-  ( ( 1 ... A )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  e.  Fin )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin
8 isinffi 8425 . . 3  |-  ( ( -.  ( S  \ 
( 1 ... N
) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )  e.  Fin )  ->  E. a  a :
( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )
94, 7, 8sylancl 666 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. a 
a : ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) ) -1-1-> ( S  \  ( 1 ... N ) ) )
10 f1f1orn 5842 . . . . . . . 8  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  -> 
a : ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ran  a
)
1110adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  a :
( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ran  a )
12 f1oi 5866 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
14 incom 3661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) )
15 disjdif 3873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) )  =  (/)
1614, 15eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
18 f1f 5796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  -> 
a : ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) ) --> ( S  \  ( 1 ... N ) ) )
19 frn 5752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) --> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  ran  a  C_  ( S 
\  ( 1 ... N ) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  ran  a  C_  ( S 
\  ( 1 ... N ) ) )
2120adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ran  a  C_  ( S  \  (
1 ... N ) ) )
22 ssrin 3693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  a  C_  ( S  \  ( 1 ... N
) )  ->  ( ran  a  i^i  (
1 ... N ) ) 
C_  ( ( S 
\  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( ( S  \ 
( 1 ... N
) )  i^i  (
1 ... N ) ) )
24 incom 3661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( S  \  ( 1 ... N ) ) )
25 disjdif 3873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( S  \ 
( 1 ... N
) ) )  =  (/)
2624, 25eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
2723, 26syl6sseq 3516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  (/) )
28 ss0 3799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  a  i^i  (
1 ... N ) ) 
C_  (/)  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
30 f1oun 5850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ran  a  /\  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )  /\  ( ( ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)  /\  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) ) )  ->  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
3111, 13, 17, 29, 30syl22anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N ) ) )
32 f1of1 5830 . . . . . 6  |-  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
34 uncom 3616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) )
35 simplrr 769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  N )
)
36 fzss2 11836 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... A
) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... A
) )
38 undif 3882 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... A )  <->  ( (
1 ... N )  u.  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) )  =  ( 1 ... A ) )
3937, 38sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  u.  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) )  =  ( 1 ... A ) )
4034, 39syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( 1 ... A
) )
41 f1eq2 5792 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( 1 ... A
)  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) )
-1-1-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N
) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) ) )
4240, 41syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) )
-1-1-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N
) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) ) )
4333, 42mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
4420difss2d 3601 . . . . . 6  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  ran  a  C_  S )
4544adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ran  a  C_  S )
46 simplrl 768 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  S )
4745, 46unssd 3648 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  u.  ( 1 ... N ) ) 
C_  S )
48 f1ss 5801 . . . 4  |-  ( ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ran  a  u.  ( 1 ... N
) )  C_  S
)  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S
)
4943, 47, 48syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S
)
50 resundir 5139 . . . 4  |-  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
51 dmres 5145 . . . . . . . 8  |-  dom  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  a )
52 incom 3661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  a )  =  ( dom  a  i^i  ( 1 ... N
) )
53 f1dm 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  dom  a  =  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) )
5453adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  a  =  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) )
5554ineq1d 3669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( dom  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  i^i  (
1 ... N ) ) )
5655, 16syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( dom  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
5752, 56syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  (/) )
5851, 57syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
59 relres 5152 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
a  |`  ( 1 ... N ) )
60 reldm0 5072 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  ( a  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) ) )
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
6258, 61sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
63 residm 5156 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
6463a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
6562, 64uneq12d 3627 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  ( (/)  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
66 uncom 3616 . . . . . 6  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )
67 un0 3793 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
6866, 67eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )
6965, 68syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
7050, 69syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
71 vex 3090 . . . . 5  |-  a  e. 
_V
72 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
73 resiexg 6743 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  e. 
_V )
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
7571, 74unex 6603 . . . 4  |-  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V
76 f1eq1 5791 . . . . 5  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( c : ( 1 ... A ) -1-1-> S  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S
) )
77 reseq1 5119 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )
7877eqeq1d 2431 . . . . 5  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
c  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
7976, 78anbi12d 715 . . . 4  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
c : ( 1 ... A ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
8075, 79spcev 3179 . . 3  |-  ( ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
8149, 70, 80syl2anc 665 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
829, 81exlimddv 1773 1  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767    _I cid 4764   dom cdm 4854   ran crn 4855    |` cres 4856   Rel wrel 4859   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   1c1 9539   NN0cn0 10869   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783
This theorem is referenced by:  eldioph2b  35325
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