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Theorem eldioph2lem2 30298
Description: Lemma for eldioph2 30299. Construct necessary renaming function for one direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2lem2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Distinct variable groups:    N, c    S, c    A, c

Proof of Theorem eldioph2lem2
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  -.  S  e.  Fin )
2 fzfi 12046 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
3 difinf 7786 . . . 4  |-  ( ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  -.  ( S  \ 
( 1 ... N
) )  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 662 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  -.  ( S  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
5 fzfi 12046 . . . 4  |-  ( 1 ... A )  e. 
Fin
6 diffi 7747 . . . 4  |-  ( ( 1 ... A )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  e.  Fin )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin
8 isinffi 8369 . . 3  |-  ( ( -.  ( S  \ 
( 1 ... N
) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )  e.  Fin )  ->  E. a  a :
( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )
94, 7, 8sylancl 662 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. a 
a : ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) ) -1-1-> ( S  \  ( 1 ... N ) ) )
10 f1f1orn 5825 . . . . . . . 8  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  -> 
a : ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ran  a
)
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  a :
( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ran  a )
12 f1oi 5849 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
14 incom 3691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) )
15 disjdif 3899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) )  =  (/)
1614, 15eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
18 f1f 5779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  -> 
a : ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) ) --> ( S  \  ( 1 ... N ) ) )
19 frn 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) --> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  ran  a  C_  ( S 
\  ( 1 ... N ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  ran  a  C_  ( S 
\  ( 1 ... N ) ) )
2120adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ran  a  C_  ( S  \  (
1 ... N ) ) )
22 ssrin 3723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  a  C_  ( S  \  ( 1 ... N
) )  ->  ( ran  a  i^i  (
1 ... N ) ) 
C_  ( ( S 
\  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( ( S  \ 
( 1 ... N
) )  i^i  (
1 ... N ) ) )
24 incom 3691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( S  \  ( 1 ... N ) ) )
25 disjdif 3899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( S  \ 
( 1 ... N
) ) )  =  (/)
2624, 25eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
2723, 26syl6sseq 3550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  (/) )
28 ss0 3816 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  a  i^i  (
1 ... N ) ) 
C_  (/)  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
30 f1oun 5833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ran  a  /\  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )  /\  ( ( ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)  /\  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) ) )  ->  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
3111, 13, 17, 29, 30syl22anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N ) ) )
32 f1of1 5813 . . . . . 6  |-  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
34 uncom 3648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) )
35 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  N )
)
36 fzss2 11719 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... A
) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... A
) )
38 undif 3907 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... A )  <->  ( (
1 ... N )  u.  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) )  =  ( 1 ... A ) )
3937, 38sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  u.  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) )  =  ( 1 ... A ) )
4034, 39syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( 1 ... A
) )
41 f1eq2 5775 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( 1 ... A
)  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) )
-1-1-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N
) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) ) )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) )
-1-1-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N
) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) ) )
4333, 42mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
4420difss2d 3634 . . . . . 6  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  ran  a  C_  S )
4544adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ran  a  C_  S )
46 simplrl 759 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  S )
4745, 46unssd 3680 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  u.  ( 1 ... N ) ) 
C_  S )
48 f1ss 5784 . . . 4  |-  ( ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ran  a  u.  ( 1 ... N
) )  C_  S
)  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S
)
4943, 47, 48syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S
)
50 resundir 5286 . . . 4  |-  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
51 dmres 5292 . . . . . . . 8  |-  dom  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  a )
52 incom 3691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  a )  =  ( dom  a  i^i  ( 1 ... N
) )
53 f1dm 5783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  dom  a  =  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  a  =  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) )
5554ineq1d 3699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( dom  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  i^i  (
1 ... N ) ) )
5655, 16syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( dom  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
5752, 56syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  (/) )
5851, 57syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
59 relres 5299 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
a  |`  ( 1 ... N ) )
60 reldm0 5218 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  ( a  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) ) )
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
6258, 61sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
63 residm 5303 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
6463a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
6562, 64uneq12d 3659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  ( (/)  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
66 uncom 3648 . . . . . 6  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )
67 un0 3810 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
6866, 67eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )
6965, 68syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
7050, 69syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
71 vex 3116 . . . . 5  |-  a  e. 
_V
72 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
73 resiexg 6717 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  e. 
_V )
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
7571, 74unex 6580 . . . 4  |-  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V
76 f1eq1 5774 . . . . 5  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( c : ( 1 ... A ) -1-1-> S  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S
) )
77 reseq1 5265 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )
7877eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
c  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
7976, 78anbi12d 710 . . . 4  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
c : ( 1 ... A ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
8075, 79spcev 3205 . . 3  |-  ( ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
8149, 70, 80syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
829, 81exlimddv 1702 1  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785    _I cid 4790   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   Rel wrel 5004   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   1c1 9489   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  eldioph2b  30300
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