eldioph2lem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem eldioph2lem2 29240

Description: Lemma for eldioph2 29241. Construct necessary renaming function for one direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
eldioph2lem2	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem eldioph2lem2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 754	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
2		fzfi 11904	. . . 4
3		difinf 7686	. . . 4 $/\$ $\$
4	1, 2, 3	sylancl 662	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
5		fzfi 11904	. . . 4
6		diffi 7647	. . . 4 $\$
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 $\$
8		isinffi 8266	. . 3 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
9	4, 7, 8	sylancl 662	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
10		f1f1orn 5753	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$
11	10	adantl 466	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
12		f1oi 5777	. . . . . . . 8
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
14		incom 3644	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
15		disjdif 3852	. . . . . . . . 9 $\$
16	14, 15	eqtri 2480	. . . . . . . 8 $\$
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
18		f1f 5707	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$ $\$
19		frn 5666	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$
21	20	adantl 466	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
22		ssrin 3676	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
24		incom 3644	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
25		disjdif 3852	. . . . . . . . . 10 $\$
26	24, 25	eqtri 2480	. . . . . . . . 9 $\$
27	23, 26	syl6sseq 3503	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
28		ss0 3769	. . . . . . . 8
29	27, 28	syl 16	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
30		f1oun 5761	. . . . . . 7 $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
31	11, 13, 17, 29, 30	syl22anc 1220	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
32		f1of1 5741	. . . . . 6 $\$ $\$
33	31, 32	syl 16	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
34		uncom 3601	. . . . . . 7 $\$ $\$
35		simplrr 760	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
36		fzss2 11608	. . . . . . . . 9
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
38		undif 3860	. . . . . . . 8 $\$
39	37, 38	sylib 196	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
40	34, 39	syl5eq 2504	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
41		f1eq2 5703	. . . . . 6 $\$ $\$
42	40, 41	syl 16	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
43	33, 42	mpbid 210	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
44	20	difss2d 3587	. . . . . 6 $\$ $\$
45	44	adantl 466	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
46		simplrl 759	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
47	45, 46	unssd 3633	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
48		f1ss 5712	. . . 4 $/\$
49	43, 47, 48	syl2anc 661	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
50		resundir 5226	. . . 4
51		dmres 5232	. . . . . . . 8
52		incom 3644	. . . . . . . . 9
53		f1dm 5711	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
54	53	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
55	54	ineq1d 3652	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
56	55, 16	syl6eq 2508	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
57	52, 56	syl5eq 2504	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
58	51, 57	syl5eq 2504	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
59		relres 5239	. . . . . . . 8
60		reldm0 5158	. . . . . . . 8
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . 7
62	58, 61	sylibr 212	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
63		residm 5242	. . . . . . 7
64	63	a1i 11	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
65	62, 64	uneq12d 3612	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
66		uncom 3601	. . . . . 6
67		un0 3763	. . . . . 6
68	66, 67	eqtri 2480	. . . . 5
69	65, 68	syl6eq 2508	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
70	50, 69	syl5eq 2504	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
71		vex 3074	. . . . 5
72		ovex 6218	. . . . . 6
73		resiexg 6617	. . . . . 6
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5
75	71, 74	unex 6481	. . . 4
76		f1eq1 5702	. . . . 5
77		reseq1 5205	. . . . . 6
78	77	eqeq1d 2453	. . . . 5
79	76, 78	anbi12d 710	. . . 4 $/\$ $/\$
80	75, 79	spcev 3163	. . 3 $/\$ $/\$
81	49, 70, 80	syl2anc 661	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
82	9, 81	exlimddv 1693	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 184 $/\$ wa 369

wceq 1370

wex 1587

wcel 1758

cvv 3071 $\$ cdif 3426

cun 3427

cin 3428

wss 3429

c0 3738

cid 4732

cdm 4941

crn 4942

cres 4943

wrel 4946

wf 5515

wf1 5516

wf1o 5518

cfv 5519 (class class class)co 6193

cfn 7413

c1 9387

cn0 10683

cuz 10965

cfz 11547

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-sep 4514 ax-nul 4522 ax-pow 4571 ax-pr 4632 ax-un 6475 ax-cnex 9442 ax-resscn 9443 ax-1cn 9444 ax-icn 9445 ax-addcl 9446 ax-addrcl 9447 ax-mulcl 9448 ax-mulrcl 9449 ax-mulcom 9450 ax-addass 9451 ax-mulass 9452 ax-distr 9453 ax-i2m1 9454 ax-1ne0 9455 ax-1rid 9456 ax-rnegex 9457 ax-rrecex 9458 ax-cnre 9459 ax-pre-lttri 9460 ax-pre-lttrn 9461 ax-pre-ltadd 9462 ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-nel 2647 df-ral 2800 df-rex 2801 df-reu 2802 df-rab 2804 df-v 3073 df-sbc 3288 df-csb 3390 df-dif 3432 df-un 3434 df-in 3436 df-ss 3443 df-pss 3445 df-nul 3739 df-if 3893 df-pw 3963 df-sn 3979 df-pr 3981 df-tp 3983 df-op 3985 df-uni 4193 df-int 4230 df-iun 4274 df-br 4394 df-opab 4452 df-mpt 4453 df-tr 4487 df-eprel 4733 df-id 4737 df-po 4742 df-so 4743 df-fr 4780 df-we 4782 df-ord 4823 df-on 4824 df-lim 4825 df-suc 4826 df-xp 4947 df-rel 4948 df-cnv 4949 df-co 4950 df-dm 4951 df-rn 4952 df-res 4953 df-ima 4954 df-iota 5482 df-fun 5521 df-fn 5522 df-f 5523 df-f1 5524 df-fo 5525 df-f1o 5526 df-fv 5527 df-riota 6154 df-ov 6196 df-oprab 6197 df-mpt2 6198 df-om 6580 df-1st 6680 df-2nd 6681 df-recs 6935 df-rdg 6969 df-1o 7023 df-oadd 7027 df-er 7204 df-en 7414 df-dom 7415 df-sdom 7416 df-fin 7417 df-card 8213 df-pnf 9524 df-mnf 9525 df-xr 9526 df-ltxr 9527 df-le 9528 df-sub 9701 df-neg 9702 df-nn 10427 df-n0 10684 df-z 10751 df-uz 10966 df-fz 11548

This theorem is referenced by: eldioph2b 29242

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