Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph2b Structured version   Unicode version

Theorem eldioph2b 30328
 Description: While Diophantine sets were defined to have a finite number of witness variables consequtively following the observable variables, this is not necessary; they can equivalently be taken to use any witness set . For instance, in diophin 30338 we use this to take the two input sets to have disjoint witness sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2b Dioph mzPoly
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem eldioph2b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophb 30322 . . 3 Dioph mzPoly
2 simplll 757 . . . . . . . . 9 mzPoly
3 simplrl 759 . . . . . . . . 9 mzPoly
4 simplrr 760 . . . . . . . . 9 mzPoly
5 simprl 755 . . . . . . . . 9 mzPoly
6 eldioph2lem2 30326 . . . . . . . . 9
72, 3, 4, 5, 6syl22anc 1229 . . . . . . . 8 mzPoly
8 rexv 3128 . . . . . . . 8
97, 8sylibr 212 . . . . . . 7 mzPoly
10 simp-5r 768 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
11 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 mzPoly mzPoly
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 mzPoly mzPoly
13 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12 mzPoly
14 f1f 5781 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
16 mzprename 30314 . . . . . . . . . . 11 mzPoly mzPoly
1710, 12, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10 mzPoly mzPoly
18 simprr 756 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
19 diophrw 30324 . . . . . . . . . . . 12
2019eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11
2110, 13, 18, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10 mzPoly
22 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14
2524rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13
2625abbidv 2603 . . . . . . . . . . . 12
2726eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
2827rspcev 3214 . . . . . . . . . 10 mzPoly mzPoly
2917, 21, 28syl2anc 661 . . . . . . . . 9 mzPoly mzPoly
3029ex 434 . . . . . . . 8 mzPoly mzPoly
3130rexlimdva 2955 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly
329, 31mpd 15 . . . . . 6 mzPoly mzPoly
33 eqeq1 2471 . . . . . . 7
3433rexbidv 2973 . . . . . 6 mzPoly mzPoly
3532, 34syl5ibrcom 222 . . . . 5 mzPoly mzPoly
3635rexlimdvva 2962 . . . 4 mzPoly mzPoly
3736adantld 467 . . 3 mzPoly mzPoly
381, 37syl5bi 217 . 2 Dioph mzPoly
39 simpr 461 . . . . 5 mzPoly
40 simplll 757 . . . . . . 7 mzPoly
41 simpllr 758 . . . . . . 7 mzPoly
42 simplrr 760 . . . . . . 7 mzPoly
43 simpr 461 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly
44 eldioph2 30327 . . . . . . 7 mzPoly Dioph
4540, 41, 42, 43, 44syl121anc 1233 . . . . . 6 mzPoly Dioph
4645adantr 465 . . . . 5 mzPoly Dioph
4739, 46eqeltrd 2555 . . . 4 mzPoly Dioph
4847ex 434 . . 3 mzPoly Dioph
4948rexlimdva 2955 . 2 mzPoly Dioph
5038, 49impbid 191 1 Dioph mzPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767  cab 2452  wrex 2815  cvv 3113   wss 3476   cmpt 4505   cid 4790   cres 5001   ccom 5003  wf 5584  wf1 5585  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmap 7420  cfn 7516  cc0 9492  c1 9493  cn0 10795  cz 10864  cuz 11082  cfz 11672  mzPolycmzp 30286  Diophcdioph 30320 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-mzpcl 30287  df-mzp 30288  df-dioph 30321 This theorem is referenced by:  eldioph3b  30330  diophin  30338  diophun  30339  eldioph4b  30377
 Copyright terms: Public domain W3C validator