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Theorem eldioph2b 29098
Description: While Diophantine sets were defined to have a finite number of witness variables consequtively following the observable variables, this is not necessary; they can equivalently be taken to use any witness set  ( S  \ 
( 1 ... N
) ). For instance, in diophin 29108 we use this to take the two input sets to have disjoint witness sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2b  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Distinct variable groups:    A, p    u, N, t, p    u, S, t, p
Allowed substitution hints:    A( u, t)

Proof of Theorem eldioph2b
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophb 29092 . . 3  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. a  e.  ( ZZ>= `  N ) E. b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) } ) )
2 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
3 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  -.  S  e.  Fin )
4 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  S
)
5 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  a  e.  (
ZZ>= `  N ) )
6 eldioph2lem2 29096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  a  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... a )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
72, 3, 4, 5, 6syl22anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  E. c ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
8 rexv 2985 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  _V  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  E. c ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
97, 8sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  E. c  e.  _V  ( c : ( 1 ... a )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
10 simp-5r 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
11 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a ) ) )
13 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  c : ( 1 ... a ) -1-1-> S )
14 f1f 5604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  -> 
c : ( 1 ... a ) --> S )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  c : ( 1 ... a ) --> S )
16 mzprename 29083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) )  /\  c : ( 1 ... a ) --> S )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  o.  c ) ) )  e.  (mzPoly `  S ) )
1710, 12, 15, 16syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  o.  c ) ) )  e.  (mzPoly `  S ) )
18 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
c  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
19 diophrw 29094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  _V  /\  c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) } )
2019eqcomd 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
2110, 13, 18, 20syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
22 fveq1 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( p `  u
)  =  ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  o.  c ) ) ) `  u ) )
2322eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( ( p `  u )  =  0  <-> 
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) ) `  u )  =  0 ) )
2423anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
2524rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 )  <->  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
2625abbidv 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
2726eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } ) )
2827rspcev 3071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( b `  (
e  o.  c ) ) )  e.  (mzPoly `  S )  /\  {
t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
2917, 21, 28syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
3029ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  /\  c  e.  _V )  ->  ( ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
3130rexlimdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  ( E. c  e.  _V  ( c : ( 1 ... a
) -1-1-> S  /\  (
c  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
329, 31mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
33 eqeq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  ->  ( A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
3433rexbidv 2734 . . . . . 6  |-  ( A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  ->  ( E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  <->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
3532, 34syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  ( A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
3635rexlimdvva 2846 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( E. a  e.  ( ZZ>= `  N ) E. b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
3736adantld 467 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  E. a  e.  ( ZZ>= `  N ) E. b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) } )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
381, 37syl5bi 217 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
39 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  A  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )  ->  A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
40 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  N  e.  NN0 )
41 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  S  e.  _V )
42 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  S
)
43 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  p  e.  (mzPoly `  S ) )
44 eldioph2 29097 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
4540, 41, 42, 43, 44syl121anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
4645adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  A  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
4739, 46eqeltrd 2515 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  A  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )  ->  A  e.  (Dioph `  N
) )
4847ex 434 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  ( A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  ->  A  e.  (Dioph `  N ) ) )
4948rexlimdva 2839 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  ->  A  e.  (Dioph `  N )
) )
5038, 49impbid 191 1  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2427   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3326    e. cmpt 4348    _I cid 4629    |` cres 4840    o. ccom 4842   -->wf 5412   -1-1->wf1 5413   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   0cc0 9280   1c1 9281   NN0cn0 10577   ZZcz 10644   ZZ>=cuz 10859   ...cfz 11435  mzPolycmzp 29055  Diophcdioph 29090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-hash 12102  df-mzpcl 29056  df-mzp 29057  df-dioph 29091
This theorem is referenced by:  eldioph3b  29100  diophin  29108  diophun  29109  eldioph4b  29147
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