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Theorem eldioph2 30857
Description: Construct a Diophantine set from a polynomial with witness variables drawn from any set whatsoever, via mzpcompact2 30847. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Distinct variable groups:    t, P, u    t, S, u    t, N, u

Proof of Theorem eldioph2
Dummy variables  a 
b  c  e  g  h  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpcompact2 30847 . . 3  |-  ( P  e.  (mzPoly `  S
)  ->  E. a  e.  Fin  E. b  e.  (mzPoly `  a )
( a  C_  S  /\  P  =  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  |`  a ) ) ) ) )
213ad2ant3 1019 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  E. a  e.  Fin  E. b  e.  (mzPoly `  a ) ( a 
C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )
3 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( P `  u
)  =  ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  |`  a ) ) ) `
 u ) )
43eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( ( P `  u )  =  0  <-> 
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) `  u )  =  0 ) )
54anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
65rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 )  <->  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
76abbidv 2593 . . . . . 6  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
87ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  (
a  C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
9 simplll 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  N  e.  NN0 )
10 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  a  e.  Fin )
11 fzfi 12084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
12 unfi 7805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( a  u.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  e.  Fin )
14 ssun2 3664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) ) )
16 eldioph2lem1 30855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  u.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c  e.  ( ZZ>= `  N ) E. d  e.  _V  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
179, 13, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  E. c  e.  ( ZZ>= `  N ) E. d  e.  _V  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
18 f1ococnv2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  ( d  o.  `' d )  =  (  _I  |`  (
a  u.  ( 1 ... N ) ) ) )
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
d  o.  `' d )  =  (  _I  |`  ( a  u.  (
1 ... N ) ) ) )
2019reseq1d 5282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( d  o.  `' d )  |`  a
)  =  ( (  _I  |`  ( a  u.  ( 1 ... N
) ) )  |`  a ) )
21 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  a  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) )
22 resabs1 5312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( a 
C_  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  ->  (
(  _I  |`  (
a  u.  ( 1 ... N ) ) )  |`  a )  =  (  _I  |`  a
) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (  _I  |`  ( a  u.  ( 1 ... N
) ) )  |`  a )  =  (  _I  |`  a )
2420, 23syl6req 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (  _I  |`  a )  =  ( ( d  o.  `' d )  |`  a ) )
25 resco 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( d  o.  `' d )  |`  a )  =  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) )
2624, 25syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (  _I  |`  a )  =  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (  _I  |`  a )  =  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
2827coeq2d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
e  o.  (  _I  |`  a ) )  =  ( e  o.  (
d  o.  ( `' d  |`  a )
) ) )
29 coires1 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  o.  (  _I  |`  a
) )  =  ( e  |`  a )
30 coass 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) )  =  ( e  o.  (
d  o.  ( `' d  |`  a )
) )
3130eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  o.  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) ) )  =  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) )
3228, 29, 313eqtr3g 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
e  |`  a )  =  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
3332fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
b `  ( e  |`  a ) )  =  ( b `  (
( e  o.  d
)  o.  ( `' d  |`  a )
) ) )
34 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... c )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
1 ... c )  e. 
_V )
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )
37 f1of1 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  d : ( 1 ... c )
-1-1-> ( a  u.  (
1 ... N ) ) )
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  d : ( 1 ... c ) -1-1-> ( a  u.  ( 1 ... N ) ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  a  C_  S )
40 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  ->  ( 1 ... N )  C_  S )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( 1 ... N )  C_  S )
4239, 41unssd 3676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  C_  S
)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
a  u.  ( 1 ... N ) ) 
C_  S )
44 f1ss 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( d : ( 1 ... c ) -1-1-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  C_  S
)  ->  d :
( 1 ... c
) -1-1-> S )
4538, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  d : ( 1 ... c ) -1-1-> S )
46 f1f 5787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-> S  -> 
d : ( 1 ... c ) --> S )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  d : ( 1 ... c ) --> S )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  d : ( 1 ... c ) --> S )
49 mapco2g 30808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1 ... c
)  e.  _V  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S )  /\  d : ( 1 ... c ) --> S )  ->  ( e  o.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) )
5035, 36, 48, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
e  o.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) ) )
51 coeq1 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  =  ( e  o.  d )  ->  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
)  =  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
5251fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  ( e  o.  d )  ->  (
b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) )  =  ( b `  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
53 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )  =  ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
54 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b `
 ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) )  e.  _V
5552, 53, 54fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  o.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  ->  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) )  =  ( b `  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) )  =  ( b `  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
5733, 56eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
b `  ( e  |`  a ) )  =  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) ) )
5857mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  |`  a ) ) )  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) )
5958fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( b `  (
e  |`  a ) ) ) `  u )  =  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u ) )
6059eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) `  u )  =  0  <-> 
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) )
6160anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) ) ) `  u )  =  0 ) ) )
6261rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( b `  (
e  |`  a ) ) ) `  u )  =  0 )  <->  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) ) )
6362abbidv 2593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) ) ) `  u )  =  0 ) } )
64 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  ->  S  e.  _V )
6564ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
66 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
d  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
67 diophrw 30854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  _V  /\  d : ( 1 ... c ) -1-1-> S  /\  ( d  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c ) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  g )  =  0 ) } )
6865, 45, 66, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c ) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  g )  =  0 ) } )
6963, 68eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c
) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  g )  =  0 ) } )
70 simp-5l 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
71 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  c  e.  ( ZZ>= `  N )
)
7234a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
1 ... c )  e. 
_V )
73 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  b  e.  (mzPoly `  a ) )
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  a )
)
75 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  `' d : ( a  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... c ) )
76 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' d : ( a  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... c )  ->  `' d : ( a  u.  ( 1 ... N ) ) --> ( 1 ... c
) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  `' d : ( a  u.  (
1 ... N ) ) --> ( 1 ... c
) )
78 fssres 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' d : ( a  u.  ( 1 ... N ) ) --> ( 1 ... c
)  /\  a  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c ) )
7977, 21, 78sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c
) )
8079ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c ) )
81 mzprename 30844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... c
)  e.  _V  /\  b  e.  (mzPoly `  a
)  /\  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c ) )  -> 
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... c ) ) )
8272, 74, 80, 81syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... c
) ) )
83 eldioph 30853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  (
h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... c
) ) )  ->  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c
) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  g )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
8470, 71, 82, 83syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... c ) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  g )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
8569, 84eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
8685ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  /\  ( c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  ->  (
( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
8786rexlimdvva 2956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( E. c  e.  ( ZZ>= `  N ) E. d  e.  _V  ( d : ( 1 ... c
)
-1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
8817, 87mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
8988exp31 604 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  ->  ( (
a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a
) )  ->  (
a  C_  S  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) ) )
90893adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  -> 
( ( a  e. 
Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) )  ->  ( a  C_  S  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) ) )
9190imp31 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
9291adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  (
a  C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
938, 92eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  (
a  C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
9493ex 434 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  ->  ( ( a 
C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
9594rexlimdvva 2956 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  -> 
( E. a  e. 
Fin  E. b  e.  (mzPoly `  a ) ( a 
C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
962, 95mpd 15 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471    |-> cmpt 4515    _I cid 4799   `'ccnv 5007    |` cres 5010    o. ccom 5012   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697  mzPolycmzp 30816  Diophcdioph 30850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12408  df-mzpcl 30817  df-mzp 30818  df-dioph 30851
This theorem is referenced by:  eldioph2b  30858  diophin  30868  diophun  30869
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