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Theorem eldioph2 28945
Description: Construct a Diophantine set from a polynomial with witness variables drawn from any set whatsoever, via mzpcompact2 28934. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Distinct variable groups:    t, P, u    t, S, u    t, N, u

Proof of Theorem eldioph2
Dummy variables  a 
b  c  e  g  h  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpcompact2 28934 . . 3  |-  ( P  e.  (mzPoly `  S
)  ->  E. a  e.  Fin  E. b  e.  (mzPoly `  a )
( a  C_  S  /\  P  =  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  |`  a ) ) ) ) )
213ad2ant3 1004 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  E. a  e.  Fin  E. b  e.  (mzPoly `  a ) ( a 
C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )
3 fveq1 5678 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( P `  u
)  =  ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  |`  a ) ) ) `
 u ) )
43eqeq1d 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( ( P `  u )  =  0  <-> 
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) `  u )  =  0 ) )
54anbi2d 696 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
65rexbidv 2726 . . . . . . 7  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 )  <->  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
76abbidv 2547 . . . . . 6  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
87ad2antll 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  (
a  C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
9 simplll 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  N  e.  NN0 )
10 simplrl 752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  a  e.  Fin )
11 fzfi 11778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
12 unfi 7567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( a  u.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
1310, 11, 12sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  e.  Fin )
14 ssun2 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) ) )
16 eldioph2lem1 28943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  u.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c  e.  ( ZZ>= `  N ) E. d  e.  _V  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
179, 13, 15, 16syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  E. c  e.  ( ZZ>= `  N ) E. d  e.  _V  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
18 f1ococnv2 5655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  ( d  o.  `' d )  =  (  _I  |`  (
a  u.  ( 1 ... N ) ) ) )
1918ad2antrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
d  o.  `' d )  =  (  _I  |`  ( a  u.  (
1 ... N ) ) ) )
2019reseq1d 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( d  o.  `' d )  |`  a
)  =  ( (  _I  |`  ( a  u.  ( 1 ... N
) ) )  |`  a ) )
21 ssun1 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  a  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) )
22 resabs1 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( a 
C_  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  ->  (
(  _I  |`  (
a  u.  ( 1 ... N ) ) )  |`  a )  =  (  _I  |`  a
) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (  _I  |`  ( a  u.  ( 1 ... N
) ) )  |`  a )  =  (  _I  |`  a )
2420, 23syl6req 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (  _I  |`  a )  =  ( ( d  o.  `' d )  |`  a ) )
25 resco 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( d  o.  `' d )  |`  a )  =  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) )
2624, 25syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (  _I  |`  a )  =  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
2726adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (  _I  |`  a )  =  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
2827coeq2d 4989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
e  o.  (  _I  |`  a ) )  =  ( e  o.  (
d  o.  ( `' d  |`  a )
) ) )
29 coires1 5343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  o.  (  _I  |`  a
) )  =  ( e  |`  a )
30 coass 5344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) )  =  ( e  o.  (
d  o.  ( `' d  |`  a )
) )
3130eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  o.  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) ) )  =  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) )
3228, 29, 313eqtr3g 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
e  |`  a )  =  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
3332fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
b `  ( e  |`  a ) )  =  ( b `  (
( e  o.  d
)  o.  ( `' d  |`  a )
) ) )
34 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... c )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
1 ... c )  e. 
_V )
36 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )
37 f1of1 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  d : ( 1 ... c )
-1-1-> ( a  u.  (
1 ... N ) ) )
3837ad2antrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  d : ( 1 ... c ) -1-1-> ( a  u.  ( 1 ... N ) ) )
39 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  a  C_  S )
40 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  ->  ( 1 ... N )  C_  S )
4140ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( 1 ... N )  C_  S )
4239, 41unssd 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  C_  S
)
4342ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
a  u.  ( 1 ... N ) ) 
C_  S )
44 f1ss 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( d : ( 1 ... c ) -1-1-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  C_  S
)  ->  d :
( 1 ... c
) -1-1-> S )
4538, 43, 44syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  d : ( 1 ... c ) -1-1-> S )
46 f1f 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-> S  -> 
d : ( 1 ... c ) --> S )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  d : ( 1 ... c ) --> S )
4847adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  d : ( 1 ... c ) --> S )
49 mapco2g 28895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1 ... c
)  e.  _V  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S )  /\  d : ( 1 ... c ) --> S )  ->  ( e  o.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) )
5035, 36, 48, 49syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
e  o.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) ) )
51 coeq1 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  =  ( e  o.  d )  ->  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
)  =  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
5251fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  ( e  o.  d )  ->  (
b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) )  =  ( b `  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
53 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )  =  ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
54 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b `
 ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) )  e.  _V
5552, 53, 54fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  o.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  ->  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) )  =  ( b `  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) )  =  ( b `  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
5733, 56eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
b `  ( e  |`  a ) )  =  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) ) )
5857mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  |`  a ) ) )  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) )
5958fveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( b `  (
e  |`  a ) ) ) `  u )  =  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u ) )
6059eqeq1d 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) `  u )  =  0  <-> 
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) )
6160anbi2d 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) ) ) `  u )  =  0 ) ) )
6261rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( b `  (
e  |`  a ) ) ) `  u )  =  0 )  <->  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) ) )
6362abbidv 2547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) ) ) `  u )  =  0 ) } )
64 simplrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  ->  S  e.  _V )
6564ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
66 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
d  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
67 diophrw 28942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  _V  /\  d : ( 1 ... c ) -1-1-> S  /\  ( d  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c ) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  g )  =  0 ) } )
6865, 45, 66, 67syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c ) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  g )  =  0 ) } )
6963, 68eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c
) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  g )  =  0 ) } )
70 simp-5l 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
71 simplrl 752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  c  e.  ( ZZ>= `  N )
)
7234a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
1 ... c )  e. 
_V )
73 simplrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  b  e.  (mzPoly `  a ) )
7473ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  a )
)
75 f1ocnv 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  `' d : ( a  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... c ) )
76 f1of 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' d : ( a  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... c )  ->  `' d : ( a  u.  ( 1 ... N ) ) --> ( 1 ... c
) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  `' d : ( a  u.  (
1 ... N ) ) --> ( 1 ... c
) )
78 fssres 5566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' d : ( a  u.  ( 1 ... N ) ) --> ( 1 ... c
)  /\  a  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c ) )
7977, 21, 78sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c
) )
8079ad2antrl 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c ) )
81 mzprename 28931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... c
)  e.  _V  /\  b  e.  (mzPoly `  a
)  /\  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c ) )  -> 
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... c ) ) )
8272, 74, 80, 81syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... c
) ) )
83 eldioph 28941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  (
h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... c
) ) )  ->  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c
) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  g )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
8470, 71, 82, 83syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... c ) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  g )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
8569, 84eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
8685ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  /\  ( c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  ->  (
( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
8786rexlimdvva 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( E. c  e.  ( ZZ>= `  N ) E. d  e.  _V  ( d : ( 1 ... c
)
-1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
8817, 87mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
8988exp31 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  ->  ( (
a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a
) )  ->  (
a  C_  S  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) ) )
90893adant3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  -> 
( ( a  e. 
Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) )  ->  ( a  C_  S  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) ) )
9190imp31 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
9291adantrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  (
a  C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
938, 92eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  (
a  C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
9493ex 434 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  ->  ( ( a 
C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
9594rexlimdvva 2838 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  -> 
( E. a  e. 
Fin  E. b  e.  (mzPoly `  a ) ( a 
C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
962, 95mpd 15 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   {cab 2419   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    u. cun 3314    C_ wss 3316    e. cmpt 4338    _I cid 4618   `'ccnv 4826    |` cres 4829    o. ccom 4831   -->wf 5402   -1-1->wf1 5403   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ^m cmap 7202   Fincfn 7298   0cc0 9270   1c1 9271   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424  mzPolycmzp 28903  Diophcdioph 28938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-hash 12088  df-mzpcl 28904  df-mzp 28905  df-dioph 28939
This theorem is referenced by:  eldioph2b  28946  diophin  28956  diophun  28957
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