Theorem eldifpw 2965

Description: Membership in a power class difference.

Hypothesis

Ref	Expression
eldifpw.1	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
eldifpw	|- ((A e. P~B /\ -. C (_ B) -> (A u. C) e. (P~(B u. C) \ P~B))

Proof of Theorem eldifpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 2451	. . . 4 |- (A e. P~B -> A (_ B)
2		eldifpw.1	. . . . . . 7 |- C e. V
3		unexg 2928	. . . . . . 7 |- ((A e. P~B /\ C e. V) -> (A u. C) e. V)
4	2, 3	mpan2 699	. . . . . 6 |- (A e. P~B -> (A u. C) e. V)
5		elpwg 2450	. . . . . 6 |- ((A u. C) e. V -> ((A u. C) e. P~(B u. C) <-> (A u. C) (_ (B u. C)))
6	4, 5	syl 10	. . . . 5 |- (A e. P~B -> ((A u. C) e. P~(B u. C) <-> (A u. C) (_ (B u. C)))
7		unss1 2243	. . . . 5 |- (A (_ B -> (A u. C) (_ (B u. C))
8	6, 7	syl5bir 208	. . . 4 |- (A e. P~B -> (A (_ B -> (A u. C) e. P~(B u. C)))
9	1, 8	mpd 26	. . 3 |- (A e. P~B -> (A u. C) e. P~(B u. C))
10		elpwi 2451	. . . . 5 |- ((A u. C) e. P~B -> (A u. C) (_ B)
11		unss 2248	. . . . . 6 |- ((A (_ B /\ C (_ B) <-> (A u. C) (_ B)
12		pm3.27 321	. . . . . 6 |- ((A (_ B /\ C (_ B) -> C (_ B)
13	11, 12	sylbir 199	. . . . 5 |- ((A u. C) (_ B -> C (_ B)
14	10, 13	syl 10	. . . 4 |- ((A u. C) e. P~B -> C (_ B)
15	14	con3i 98	. . 3 |- (-. C (_ B -> -. (A u. C) e. P~B)
16	9, 15	anim12i 331	. 2 |- ((A e. P~B /\ -. C (_ B) -> ((A u. C) e. P~(B u. C) /\ -. (A u. C) e. P~B))
17		eldif 2101	. 2 |- ((A u. C) e. (P~(B u. C) \ P~B) <-> ((A u. C) e. P~(B u. C) /\ -. (A u. C) e. P~B))
18	16, 17	sylibr 198	1 |- ((A e. P~B /\ -. C (_ B) -> (A u. C) e. (P~(B u. C) \ P~B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   e. wcel 990  Vcvv 1849   \ cdif 2088   u. cun 2089   (_ wss 2091  P~cpw 2446

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-uni 2552

Copyright terms: Public domain