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Theorem eldifpw 6611
Description: Membership in a power class difference. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
eldifpw.1  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
eldifpw  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B ) )

Proof of Theorem eldifpw
StepHypRef Expression
1 elpwi 4024 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P B  ->  A  C_  B )
2 unss1 3669 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  u.  C )  C_  ( B  u.  C
) )
3 eldifpw.1 . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
4 unexg 6600 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  u.  C )  e.  _V )
53, 4mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  e.  _V )
6 elpwg 4023 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  C )  e.  _V  ->  (
( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )  <->  ( A  u.  C ) 
C_  ( B  u.  C ) ) )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C
)  <->  ( A  u.  C )  C_  ( B  u.  C )
) )
82, 7syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  C_  B  ->  ( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )
) )
91, 8mpd 15 . . 3  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )
)
10 elpwi 4024 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  C_  B )
1110unssbd 3678 . . . 4  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ~P B  ->  C  C_  B )
1211con3i 135 . . 3  |-  ( -.  C  C_  B  ->  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
)
139, 12anim12i 566 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C )  /\  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
) )
14 eldif 3481 . 2  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B )  <->  ( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C )  /\  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
) )
1513, 14sylibr 212 1  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-uni 4252
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