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Theorem elcncf2 20441
Description: Version of elcncf 20440 with arguments commuted. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
elcncf2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, F, x, y, z    w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf2
StepHypRef Expression
1 elcncf 20440 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
2 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  A  C_  CC )
3 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
42, 3sseldd 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  CC )
5 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  A )
62, 5sseldd 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  CC )
74, 6abssubd 12931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( x  -  w
) )  =  ( abs `  ( w  -  x ) ) )
87breq1d 4297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z ) )
9 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  B  C_  CC )
10 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  F : A
--> B )
1110, 3ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  B
)
129, 11sseldd 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1310, 5ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  w )  e.  B
)
149, 13sseldd 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  w )  e.  CC )
1512, 14abssubd 12931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) ) )
1615breq1d 4297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  w ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) )  <  y ) )
178, 16imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
1817anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A
--> B )  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
1918ralbidva 2726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2019rexbidv 2731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
)  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2120ralbidv 2730 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2221ralbidva 2726 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2322pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) )  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
241, 23bitrd 253 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272    < clt 9410    - cmin 9587   RR+crp 10983   abscabs 12715   -cn->ccncf 20427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-2 10372  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-abs 12717  df-cncf 20429
This theorem is referenced by:  cncfi  20445  cncffvrn  20449  abscncf  20452  recncf  20453  imcncf  20454  cjcncf  20455  mulc1cncf  20456  cncfco  20458  volcn  21061  ftc1a  21484  ulmcn  21839  ftc1anc  28428
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