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Theorem elcncf 20306
Description: Membership in the set of continuous complex functions from 
A to  B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elcncf  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, F, x, y, z    w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfval 20305 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
21eleq2d 2500 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  F  e.  { f  e.  ( B  ^m  A )  | 
A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } ) )
3 fveq1 5678 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4 fveq1 5678 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  w )  =  ( F `  w ) )
53, 4oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( F `  w ) ) )
65fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  ( abs `  ( ( f `
 x )  -  ( f `  w
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) ) )
76breq1d 4290 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
) )
87imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
98rexralbidv 2749 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( f `  x )  -  (
f `  w )
) )  <  y
)  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
1092ralbidv 2747 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
1110elrab 3106 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  <->  ( F  e.  ( B  ^m  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
122, 11syl6bb 261 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F  e.  ( B  ^m  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
13 cnex 9350 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
1413ssex 4424 . . . 4  |-  ( B 
C_  CC  ->  B  e. 
_V )
1513ssex 4424 . . . 4  |-  ( A 
C_  CC  ->  A  e. 
_V )
16 elmapg 7215 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
F : A --> B ) )
1714, 15, 16syl2anr 475 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( B  ^m  A )  <->  F : A
--> B ) )
1817anbi1d 697 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( F  e.  ( B  ^m  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) )  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
1912, 18bitrd 253 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   class class class wbr 4280   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ^m cmap 7202   CCcc 9267    < clt 9405    - cmin 9582   RR+crp 10978   abscabs 12706   -cn->ccncf 20293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-map 7204  df-cncf 20295
This theorem is referenced by:  elcncf2  20307  cncff  20310  elcncf1di  20312  rescncf  20314  cncfmet  20325
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