MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcls2 Structured version   Unicode version

Theorem elcls2 18811
Description: Membership in a closure. (Contributed by NM, 5-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
elcls2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, P    x, S    x, X

Proof of Theorem elcls2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21clsss3 18796 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
3 ssel 3459 . . . 4  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  X  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  ->  P  e.  X ) )
43pm4.71rd 635 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  X  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) ) )
52, 4syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) ) )
61elcls 18810 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
763expa 1188 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
87pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( P  e.  X  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
95, 8bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3746   U.cuni 4200   ` cfv 5527   Topctop 18631   clsccl 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-top 18636  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758
This theorem is referenced by:  1stcelcls  19198  tsmsgsum  19842  tsmsgsumOLD  19845
  Copyright terms: Public domain W3C validator