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Theorem elcls 17092
Description: Membership in a closure. Theorem 6.5(a) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
elcls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, P    x, S    x, X

Proof of Theorem elcls
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
21cmclsopn 17081 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  e.  J )
323adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  e.  J
)
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  S )
)  e.  J )
5 eldif 3290 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
65biimpri 198 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )
763ad2antl3 1121 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )
8 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  X )
91sscls 17075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
108, 9ssind 3525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( X  i^i  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
11 dfin4 3541 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  i^i  ( ( cls `  J ) `  S
) )  =  ( X  \  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
1210, 11syl6sseq 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( X  \ 
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) ) )
13 reldisj 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )  =  (/) 
<->  S  C_  ( X  \  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
1413adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/)  <->  S  C_  ( X  \  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) ) ) )
1512, 14mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )  =  (/) )
16 nne 2571 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =  (/) )
17 incom 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 S ) )  i^i  S )  =  ( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
1817eqeq1i 2411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =  (/)  <->  ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/) )
1916, 18bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/) )
2015, 19sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
21203adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  -.  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
23 eleq2 2465 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) ) )
24 ineq1 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( x  i^i  S )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )
)
2524neeq1d 2580 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
2625notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  -.  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
2723, 26anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  /\  -.  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2827rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  e.  J  /\  ( P  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  /\  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
294, 7, 22, 28syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
30 incom 3493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  i^i  x )  =  ( x  i^i  S
)
3130eqeq1i 2411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  i^i  x )  =  (/)  <->  ( x  i^i 
S )  =  (/) )
32 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =  (/) )
3332con2bii 323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  S )  =  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )
3431, 33bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  i^i  x )  =  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )
351opncld 17052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( X  \  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3635adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  J
)  ->  ( X  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( X 
\  x )  e.  ( Clsd `  J
) )
38 reldisj 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( S  i^i  x
)  =  (/)  <->  S  C_  ( X  \  x ) ) )
3938biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  X  /\  ( S  i^i  x
)  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x ) )
4039adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( S  i^i  x
)  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x ) )
4140adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x
) )
421clsss2 17091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  x
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  ( X  \  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( X  \  x
) )
4337, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( ( cls `  J ) `
 S )  C_  ( X  \  x
) )
4443sseld 3307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  P  e.  ( X  \  x
) ) )
45 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( X  \  x )  ->  -.  P  e.  x )
4644, 45syl6 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  -.  P  e.  x ) )
4746con2d 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
4834, 47sylan2br 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `
 S ) ) )
4948exp31 588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
5049com34 79 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
5150imp4a 573 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) ) )
5251rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
5352imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
54533adantl3 1115 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5529, 54impbida 806 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
56 rexanali 2712 . . 3  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  -.  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
5755, 56syl6bb 253 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )  <->  -. 
A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5857con4bid 285 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   ` cfv 5413   Topctop 16913   Clsdccld 17035   clsccl 17037
This theorem is referenced by:  elcls2  17093  clsndisj  17094  elcls3  17102  neindisj2  17142  lmcls  17320  1stccnp  17478  txcls  17589  dfac14lem  17602  fclsopn  17999  metdseq0  18837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-top 16918  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040
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