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Theorem elcls 18699
Description: Membership in a closure. Theorem 6.5(a) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
elcls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, P    x, S    x, X

Proof of Theorem elcls
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
21cmclsopn 18688 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  e.  J )
323adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  e.  J
)
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  S )
)  e.  J )
5 eldif 3359 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
65biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )
763ad2antl3 1152 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  X )
91sscls 18682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
108, 9ssind 3595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( X  i^i  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
11 dfin4 3611 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  i^i  ( ( cls `  J ) `  S
) )  =  ( X  \  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
1210, 11syl6sseq 3423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( X  \ 
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) ) )
13 reldisj 3743 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )  =  (/) 
<->  S  C_  ( X  \  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
1413adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/)  <->  S  C_  ( X  \  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) ) ) )
1512, 14mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )  =  (/) )
16 nne 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =  (/) )
17 incom 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 S ) )  i^i  S )  =  ( S  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
1817eqeq1i 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =  (/)  <->  ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/) )
1916, 18bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( S  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
) )  =  (/) )
2015, 19sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
21203adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
2221adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  -.  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) )
23 eleq2 2504 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) ) ) )
24 ineq1 3566 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( x  i^i  S )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )
)
2524neeq1d 2641 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( (
x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
2625notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  -.  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  i^i  S
)  =/=  (/) ) )
2723, 26anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  /\  -.  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2827rspcev 3094 . . . . 5  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  S )
)  e.  J  /\  ( P  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  S
) )  /\  -.  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  S )
)  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
294, 7, 22, 28syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
30 incom 3564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  i^i  x )  =  ( x  i^i  S
)
3130eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  i^i  x )  =  (/)  <->  ( x  i^i 
S )  =  (/) )
32 df-ne 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  S )  =/=  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =  (/) )
3332con2bii 332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  S )  =  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )
3431, 33bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  i^i  x )  =  (/)  <->  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )
351opncld 18659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( X  \  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  J
)  ->  ( X  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( X 
\  x )  e.  ( Clsd `  J
) )
38 reldisj 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( S  i^i  x
)  =  (/)  <->  S  C_  ( X  \  x ) ) )
3938biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  X  /\  ( S  i^i  x
)  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x ) )
4039adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( S  i^i  x
)  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x ) )
4140adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  S  C_  ( X  \  x
) )
421clsss2 18698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  \  x
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  ( X  \  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( X  \  x
) )
4337, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( ( cls `  J ) `
 S )  C_  ( X  \  x
) )
4443sseld 3376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  P  e.  ( X  \  x
) ) )
45 eldifn 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( X  \  x )  ->  -.  P  e.  x )
4644, 45syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  -.  P  e.  x ) )
4746con2d 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  ( S  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
4834, 47sylan2br 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  x  e.  J )  /\  -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `
 S ) ) )
4948exp31 604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  ( P  e.  x  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
5049com34 83 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( P  e.  x  ->  ( -.  ( x  i^i  S )  =/=  (/)  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) ) )
5150imp4a 589 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  J  ->  ( ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) ) )
5251rexlimdv 2861 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  (
x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
5352imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
54533adantl3 1146 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  /\  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i 
S )  =/=  (/) ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5529, 54impbida 828 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
56 rexanali 2782 . . 3  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  -.  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  -.  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
5755, 56syl6bb 261 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )  <->  -. 
A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
5857con4bid 293 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3346    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   U.cuni 4112   ` cfv 5439   Topctop 18520   Clsdccld 18642   clsccl 18644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-top 18525  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647
This theorem is referenced by:  elcls2  18700  clsndisj  18701  elcls3  18709  neindisj2  18749  islp3  18772  lmcls  18928  1stccnp  19088  txcls  19199  dfac14lem  19212  fclsopn  19609  metdseq0  20452
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