MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl3 Structured version   Unicode version

Theorem elbl3 20765
Description: Membership in a ball, with reversed distance function arguments. (Contributed by NM, 10-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
elbl3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A D P )  <  R
) )

Proof of Theorem elbl3
StepHypRef Expression
1 elbl2 20763 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( P D A )  <  R
) )
2 xmetsym 20720 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( P D A )  =  ( A D P ) )
323expb 1196 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( P D A )  =  ( A D P ) )
43adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( P D A )  =  ( A D P ) )
54breq1d 4444 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( P D A )  <  R  <->  ( A D P )  <  R ) )
61, 5bitrd 253 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A D P )  <  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4434   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   RR*cxr 9627    < clt 9628   *Metcxmt 18274   ballcbl 18276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-xadd 11325  df-psmet 18282  df-xmet 18283  df-bl 18285
This theorem is referenced by:  blcom  20767  reperflem  21193  reconnlem2  21202  ellimc3  22153  dvlip2  22266  lhop1lem  22284  ulmdvlem1  22664  pserdvlem2  22692  abelthlem2  22696  abelthlem3  22697  abelthlem5  22699  abelthlem7  22702  efopn  22908  logtayl  22910  xrlimcnp  23167  efrlim  23168  nvelbl  25468  tpr2rico  27764  lgamucov  28450  lgamcvg2  28467  heibor1lem  30277
  Copyright terms: Public domain W3C validator