MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbasov Structured version   Unicode version

Theorem elbasov 14227
Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elbasov.o  |-  Rel  dom  O
elbasov.s  |-  S  =  ( X O Y )
elbasov.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
elbasov  |-  ( A  e.  B  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )

Proof of Theorem elbasov
StepHypRef Expression
1 n0i 3647 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
2 elbasov.s . . . . 5  |-  S  =  ( X O Y )
3 elbasov.o . . . . . 6  |-  Rel  dom  O
43ovprc 6123 . . . . 5  |-  ( -.  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X O Y )  =  (/) )
52, 4syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( -.  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  S  =  (/) )
65fveq2d 5700 . . 3  |-  ( -.  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  (/) ) )
7 elbasov.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
8 base0 14218 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
96, 7, 83eqtr4g 2500 . 2  |-  ( -.  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  B  =  (/) )
101, 9nsyl2 127 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977   (/)c0 3642   dom cdm 4845   Rel wrel 4850   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fv 5431  df-ov 6099  df-slot 14183  df-base 14184
This theorem is referenced by:  psrelbas  17455  psraddcl  17459  psrmulcllem  17463  psrvscafval  17466  psrvscacl  17469  resspsradd  17493  resspsrmul  17494  cphsubrglem  20701  mdegcl  21545
  Copyright terms: Public domain W3C validator