Theorem elbasfv 14528

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasfv.s	|- S = ( F ` Z )
elbasfv.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
elbasfv	|- ( X e. B -> Z e. _V )

Proof of Theorem elbasfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3785	. 2 |- ( X e. B -> -. B = (/) )
2		elbasfv.s	. . . . 5 |- S = ( F ` Z )
3		fvprc 5853	. . . . 5 |- ( -. Z e. _V -> ( F ` Z ) = (/) )
4	2, 3	syl5eq 2515	. . . 4 |- ( -. Z e. _V -> S = (/) )
5	4	fveq2d 5863	. . 3 |- ( -. Z e. _V -> ( Base ` S ) = ( Base ` (/) ) )
6		elbasfv.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
7		base0 14520	. . 3 |- (/) = ( Base ` (/) )
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2528	. 2 |- ( -. Z e. _V -> B = (/) )
9	1, 8	nsyl2 127	1 |- ( X e. B -> Z e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1374   e. wcel 1762   _Vcvv 3108   (/)c0 3780   ` cfv 5581   Basecbs 14481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fv 5589  df-slot 14485  df-base 14486

This theorem is referenced by:  frmdelbas  15839  symginv  16217  symggen  16286  psgneu  16322  psgnpmtr  16326  coe1sfi  18018  coe1sfiOLD  18019  frgpcyg  18374  lindfind  18613  q1pval  22284  r1pval  22287