MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbasfv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elbasfv 15182
Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elbasfv.s  |-  S  =  ( F `  Z
)
elbasfv.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
elbasfv  |-  ( X  e.  B  ->  Z  e.  _V )

Proof of Theorem elbasfv
StepHypRef Expression
1 n0i 3738 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
2 elbasfv.s . . . . 5  |-  S  =  ( F `  Z
)
3 fvprc 5864 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( F `  Z )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2499 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  S  =  (/) )
54fveq2d 5874 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  (
Base `  S )  =  ( Base `  (/) ) )
6 elbasfv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
7 base0 15174 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
85, 6, 73eqtr4g 2512 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  B  =  (/) )
91, 8nsyl2 131 1  |-  ( X  e.  B  ->  Z  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047   (/)c0 3733   ` cfv 5585   Basecbs 15133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fv 5593  df-slot 15137  df-base 15138
This theorem is referenced by:  frmdelbas  16649  symginv  17055  symggen  17123  psgneu  17159  psgnpmtr  17163  coe1sfi  18818  frgpcyg  19156  lindfind  19386  q1pval  23116  r1pval  23119
  Copyright terms: Public domain W3C validator