MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbasfv Structured version   Unicode version

Theorem elbasfv 14693
Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elbasfv.s  |-  S  =  ( F `  Z
)
elbasfv.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
elbasfv  |-  ( X  e.  B  ->  Z  e.  _V )

Proof of Theorem elbasfv
StepHypRef Expression
1 n0i 3798 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
2 elbasfv.s . . . . 5  |-  S  =  ( F `  Z
)
3 fvprc 5866 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( F `  Z )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  S  =  (/) )
54fveq2d 5876 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  (
Base `  S )  =  ( Base `  (/) ) )
6 elbasfv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
7 base0 14685 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
85, 6, 73eqtr4g 2523 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  B  =  (/) )
91, 8nsyl2 127 1  |-  ( X  e.  B  ->  Z  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   ` cfv 5594   Basecbs 14644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-slot 14648  df-base 14649
This theorem is referenced by:  frmdelbas  16148  symginv  16554  symggen  16622  psgneu  16658  psgnpmtr  16662  coe1sfi  18379  coe1sfiOLD  18380  frgpcyg  18739  lindfind  18978  q1pval  22680  r1pval  22683
  Copyright terms: Public domain W3C validator