Theorem elbasfv 15182

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasfv.s	|- S = ( F ` Z )
elbasfv.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
elbasfv	|- ( X e. B -> Z e. _V )

Proof of Theorem elbasfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3738	. 2 |- ( X e. B -> -. B = (/) )
2		elbasfv.s	. . . . 5 |- S = ( F ` Z )
3		fvprc 5864	. . . . 5 |- ( -. Z e. _V -> ( F ` Z ) = (/) )
4	2, 3	syl5eq 2499	. . . 4 |- ( -. Z e. _V -> S = (/) )
5	4	fveq2d 5874	. . 3 |- ( -. Z e. _V -> ( Base ` S ) = ( Base ` (/) ) )
6		elbasfv.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
7		base0 15174	. . 3 |- (/) = ( Base ` (/) )
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2512	. 2 |- ( -. Z e. _V -> B = (/) )
9	1, 8	nsyl2 131	1 |- ( X e. B -> Z e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1446   e. wcel 1889   _Vcvv 3047   (/)c0 3733   ` cfv 5585   Basecbs 15133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fv 5593  df-slot 15137  df-base 15138

This theorem is referenced by:  frmdelbas  16649  symginv  17055  symggen  17123  psgneu  17159  psgnpmtr  17163  coe1sfi  18818  frgpcyg  19156  lindfind  19386  q1pval  23116  r1pval  23119