Theorem elbasfv 14693

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasfv.s	|- S = ( F ` Z )
elbasfv.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
elbasfv	|- ( X e. B -> Z e. _V )

Proof of Theorem elbasfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3798	. 2 |- ( X e. B -> -. B = (/) )
2		elbasfv.s	. . . . 5 |- S = ( F ` Z )
3		fvprc 5866	. . . . 5 |- ( -. Z e. _V -> ( F ` Z ) = (/) )
4	2, 3	syl5eq 2510	. . . 4 |- ( -. Z e. _V -> S = (/) )
5	4	fveq2d 5876	. . 3 |- ( -. Z e. _V -> ( Base ` S ) = ( Base ` (/) ) )
6		elbasfv.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
7		base0 14685	. . 3 |- (/) = ( Base ` (/) )
8	5, 6, 7	3eqtr4g 2523	. 2 |- ( -. Z e. _V -> B = (/) )
9	1, 8	nsyl2 127	1 |- ( X e. B -> Z e. _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   ` cfv 5594   Basecbs 14644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-slot 14648  df-base 14649

This theorem is referenced by:  frmdelbas  16148  symginv  16554  symggen  16622  psgneu  16658  psgnpmtr  16662  coe1sfi  18379  coe1sfiOLD  18380  frgpcyg  18739  lindfind  18978  q1pval  22680  r1pval  22683