Theorem elab2g 2406

Description: Membership in a class abstraction, using implicit substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
elab2g.1	|- (x = A -> (ph <-> ps))
elab2g.2	|- B = {x | ph}

Assertion

Ref	Expression
elab2g	|- (A e. C -> (A e. B <-> ps))

Distinct variable groups:   ps,x   x,A

Proof of Theorem elab2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elab2g.1	. . 3 |- (x = A -> (ph <-> ps))
2	1	elabg 2405	. 2 |- (A e. C -> (A e. {x | ph} <-> ps))
3		elab2g.2	. . 3 |- B = {x | ph}
4	3	eleq2i 1961	. 2 |- (A e. B <-> A e. {x | ph})
5	2, 4	syl5bb 591	1 |- (A e. C -> (A e. B <-> ps))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871

This theorem is referenced by:  elab2 2407  eldif 2609  elun 2741  elin 2786  elprg 3060  elsncg 3063  eluni 3180  eliun 3259  eliin 3260  elong 3665  elimag 4269  tfrlem12 5130  elixp2 5408  elnp 6244  istopg 8865  isbasisg 8880  ismet 9075  isgrp 9321  isps 9988  elghomlem2 10194  elsymgrn 10200  isfbas 10261  isfil 10266  isplig 10345  isdir 10352  isass 10363  isexid 10364  ismgm 10367  hcau 10684  sh 10711  closedsub 10726  ch2 10747  elcnop 11420  ellnop 11421  elunop 11436  elhmop 11437  elcnfn 11446  ellnfn 11447  stel 11786  hstel 11787  elrn2g 13877  orderseqlem 13953  wfrlem15 13971  elno 13987  elaltxp 14098  domrancur1b 14548  isprs 14565  iscom 14689  isptfin 15505  elqs2 16267

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294

Copyright terms: Public domain