Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elaa2lemOLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elaa2lemOLD 38210
 Description: Elementhood in the set of nonzero algebraic numbers. ' Only if ' part of elaa2 38211. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) Obsolete version of elaa2lem 38209 as of 1-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
elaa2lemOLD.a
elaa2lemOLD.an0
elaa2lemOLD.g Poly
elaa2lemOLD.gn0
elaa2lemOLD.ga
elaa2lemOLD.m coeff
elaa2lemOLD.i coeff
elaa2lemOLD.f deg
Assertion
Ref Expression
elaa2lemOLD Polycoeff
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,)   ()   (,)   ()

Proof of Theorem elaa2lemOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elaa2lemOLD.f . . . 4 deg
21a1i 11 . . 3 deg
3 zsscn 10969 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4
5 elaa2lemOLD.g . . . . . . . . 9 Poly
6 dgrcl 23266 . . . . . . . . 9 Poly deg
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 deg
87nn0zd 11061 . . . . . . 7 deg
9 elaa2lemOLD.m . . . . . . . . 9 coeff
10 ssrab2 3500 . . . . . . . . . 10 coeff
11 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 11sseqtri 3450 . . . . . . . . . . . 12 coeff
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 coeff
14 elaa2lemOLD.gn0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1514neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg deg
17 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coeff coeff
1816, 17dgreq0 23298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly coeffdeg
195, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coeffdeg
2015, 19mtbid 307 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeffdeg
2120neqned 2650 . . . . . . . . . . . . . 14 coeffdeg
227, 21jca 541 . . . . . . . . . . . . 13 deg coeffdeg
23 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg coeff coeffdeg
2423neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . 14 deg coeff coeffdeg
2524elrab 3184 . . . . . . . . . . . . 13 deg coeff deg coeffdeg
2622, 25sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12 deg coeff
27 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . 12 deg coeff coeff
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 coeff
29 infmssuzclOLD 11270 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff coeff coeff
3013, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
3110, 30sseldi 3416 . . . . . . . . 9 coeff
329, 31syl5eqel 2553 . . . . . . . 8
3332nn0zd 11061 . . . . . . 7
348, 33zsubcld 11068 . . . . . 6 deg
359a1i 11 . . . . . . . 8 coeff
36 infmssuzleOLD 11269 . . . . . . . . 9 coeff deg coeff coeff deg
3713, 26, 36syl2anc 673 . . . . . . . 8 coeff deg
3835, 37eqbrtrd 4416 . . . . . . 7 deg
397nn0red 10950 . . . . . . . 8 deg
4032nn0red 10950 . . . . . . . 8
4139, 40subge0d 10224 . . . . . . 7 deg deg
4238, 41mpbird 240 . . . . . 6 deg
4334, 42jca 541 . . . . 5 deg deg
44 elnn0z 10974 . . . . 5 deg deg deg
4543, 44sylibr 217 . . . 4 deg
46 id 22 . . . . . . . . 9 Poly Poly
47 0zd 10973 . . . . . . . . 9 Poly
4817coef2 23264 . . . . . . . . 9 Poly coeff
4946, 47, 48syl2anc 673 . . . . . . . 8 Poly coeff
505, 49syl 17 . . . . . . 7 coeff
5150adantr 472 . . . . . 6 coeff
52 simpr 468 . . . . . . 7
5332adantr 472 . . . . . . 7
5452, 53nn0addcld 10953 . . . . . 6
5551, 54ffvelrnd 6038 . . . . 5 coeff
56 elaa2lemOLD.i . . . . 5 coeff
5755, 56fmptd 6061 . . . 4
58 elplyr 23234 . . . 4 deg deg Poly
594, 45, 57, 58syl3anc 1292 . . 3 deg Poly
602, 59eqeltrd 2549 . 2 Poly
61 simpr 468 . . . . . . . . . 10 deg deg
6261iftrued 3880 . . . . . . . . 9 deg deg coeff coeff
63 iffalse 3881 . . . . . . . . . . 11 deg deg coeff
6463adantl 473 . . . . . . . . . 10 deg deg coeff
65 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
6639ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
6740ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg
6866, 67resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
69 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7069ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg
7168, 70ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg deg
7265, 71mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg
7366, 67, 70ltsubaddd 10230 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg deg
7472, 73mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
75 olc 391 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
775ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 deg Poly
7854adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 deg
7916, 17dgrlt 23299 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg deg coeff
8077, 78, 79syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 deg deg deg coeff
8176, 80mpbid 215 . . . . . . . . . . 11 deg deg coeff
8281simprd 470 . . . . . . . . . 10 deg coeff
8364, 82eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9 deg deg coeff coeff
8462, 83pm2.61dan 808 . . . . . . . 8 deg coeff coeff
8584mpteq2dva 4482 . . . . . . 7 deg coeff coeff
8650, 4fssd 5750 . . . . . . . . . 10 coeff
8786adantr 472 . . . . . . . . 9 deg coeff
88 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . 11 deg
8988adantl 473 . . . . . . . . . 10 deg
9032adantr 472 . . . . . . . . . 10 deg
9189, 90nn0addcld 10953 . . . . . . . . 9 deg
9287, 91ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8 deg coeff
93 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11 deg deg
94 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14 deg
9556a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff
9695, 55fvmpt2d 5974 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff
9794, 89, 96syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 deg coeff
9897adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12 deg coeff
9998oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 deg coeff
10093, 99sumeq12rdv 13850 . . . . . . . . . 10 deg deg coeff
101100mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9 deg deg coeff
1022, 101eqtrd 2505 . . . . . . . 8 deg coeff
10360, 45, 92, 102coeeq2 23275 . . . . . . 7 coeff deg coeff
10485, 103, 953eqtr4d 2515 . . . . . 6 coeff
105104fveq1d 5881 . . . . 5 coeff
106 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
107106adantl 473 . . . . . . . 8
1083, 33sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
109108addid2d 9852 . . . . . . . . 9
110109adantr 472 . . . . . . . 8
111107, 110eqtrd 2505 . . . . . . 7
112111fveq2d 5883 . . . . . 6 coeff coeff
113 0nn0 10908 . . . . . . 7
114113a1i 11 . . . . . 6
11550, 32ffvelrnd 6038 . . . . . 6 coeff
11695, 112, 114, 115fvmptd 5969 . . . . 5 coeff
117 eqidd 2472 . . . . 5 coeff coeff
118105, 116, 1173eqtrd 2509 . . . 4 coeff coeff
11935, 30eqeltrd 2549 . . . . . 6 coeff
120 fveq2 5879 . . . . . . . 8 coeff coeff
121120neeq1d 2702 . . . . . . 7 coeff coeff
122121elrab 3184 . . . . . 6 coeff coeff
123119, 122sylib 201 . . . . 5 coeff
124123simprd 470 . . . 4 coeff
125118, 124eqnetrd 2710 . . 3 coeff
1265, 47syl 17 . . . . . . 7
127 aasscn 23350 . . . . . . . . . . 11
128 elaa2lemOLD.a . . . . . . . . . . 11
129127, 128sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
13094, 129syl 17 . . . . . . . . 9 deg
131130, 89expcld 12454 . . . . . . . 8 deg
13292, 131mulcld 9681 . . . . . . 7 deg coeff
133 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
134133fveq2d 5883 . . . . . . . 8 coeff coeff
135 oveq2 6316 . . . . . . . 8
136134, 135oveq12d 6326 . . . . . . 7 coeff coeff
13733, 126, 34, 132, 136fsumshft 13918 . . . . . 6 deg coeff deg coeff
1383, 8sseldi 3416 . . . . . . . . . 10 deg
139138, 108npcand 10009 . . . . . . . . 9 deg deg
140109, 139oveq12d 6326 . . . . . . . 8 deg deg
141140sumeq1d 13844 . . . . . . 7 deg coeff degcoeff
142 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . 14 deg
143142adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 deg
1443, 143sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12 deg
145108adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 deg
146144, 145npcand 10009 . . . . . . . . . . 11 deg
147146fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 deg coeff coeff
148147oveq1d 6323 . . . . . . . . 9 deg coeff coeff
149129adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 deg
150 elaa2lemOLD.an0 . . . . . . . . . . . . 13
151150adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 deg
15233adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 deg
153149, 151, 152, 143expsubd 12465 . . . . . . . . . . 11 deg
154153oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10 deg coeff coeff
15586adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 deg coeff
156 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg
15740adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg
158143zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg
15932nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160159adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg
161 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg
162161adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg
163156, 157, 158, 160, 162letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg
164143, 163jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14 deg
165 elnn0z 10974 . . . . . . . . . . . . . 14
166164, 165sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13 deg
167155, 166ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12 deg coeff
168149, 166expcld 12454 . . . . . . . . . . . 12 deg
169129, 32expcld 12454 . . . . . . . . . . . . 13
170169adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 deg
171149, 151, 152expne0d 12460 . . . . . . . . . . . 12 deg
172167, 168, 170, 171divassd 10440 . . . . . . . . . . 11 deg coeff coeff
173172eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10 deg coeff coeff
174154, 173eqtr2d 2506 . . . . . . . . 9 deg coeff coeff
175148, 174eqtr4d 2508 . . . . . . . 8 deg coeff coeff
176175sumeq2dv 13846 . . . . . . 7 degcoeff degcoeff
177141, 176eqtrd 2505 . . . . . 6 deg coeff degcoeff
17832, 11syl6eleq 2559 . . . . . . . 8
179 fzss1 11863 . . . . . . . 8 deg deg
180178, 179syl 17 . . . . . . 7 deg deg
181167, 168mulcld 9681 . . . . . . . 8 deg coeff
182181, 170, 171divcld 10405 . . . . . . 7 deg coeff
18333ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
1848ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg deg
185 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 deg deg deg
186 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 deg
187186nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 deg
188185, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg deg
189188ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
190183, 184, 1893jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg deg
191 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
19240ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg deg
193189zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg deg
194192, 193lenltd 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
195191, 194mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
196 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg deg
197185, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg deg
198197ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg deg
199190, 195, 198jca32 544 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg deg deg
200 elfz2 11817 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg deg
201199, 200sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg deg
202 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg deg
203202ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg deg
204201, 203condan 811 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
205204adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 deg deg coeff
2069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg coeff coeff
20712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg coeff coeff
208185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 deg deg
209208adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg deg coeff
210 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coeff coeff
211210adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg deg coeff coeff
212209, 211jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg coeff coeff
213 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coeff coeff
214213neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coeff coeff
215214elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coeff coeff
216212, 215sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg coeff coeff
217216adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg coeff coeff
218 infmssuzleOLD 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff coeff coeff
219207, 217, 218syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg coeff coeff
220206, 219eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg coeff
22140ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg coeff
222188zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
223222ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg coeff
224221, 223lenltd 9798 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg coeff
225220, 224mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12 deg deg coeff
226205, 225condan 811 . . . . . . . . . . 11 deg deg coeff
227226oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10 deg deg coeff
228129adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
229208adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
230228, 229expcld 12454 . . . . . . . . . . 11 deg deg
231230mul02d 9849 . . . . . . . . . 10 deg deg
232227, 231eqtrd 2505 . . . . . . . . 9 deg deg coeff
233232oveq1d 6323 . . . . . . . 8 deg deg coeff
234129, 150, 33expne0d 12460 . . . . . . . . . 10
235169, 234div0d 10404 . . . . . . . . 9
236235adantr 472 . . . . . . . 8 deg deg
237233, 236eqtrd 2505 . . . . . . 7 deg deg coeff
238 fzfid 12224 . . . . . . 7 deg
239180, 182, 237, 238fsumss 13868 . . . . . 6 degcoeff degcoeff
240137, 177, 2393eqtrd 2509 . . . . 5 deg coeff degcoeff
24189, 55syldan 478 . . . . . . . . . 10 deg coeff
24256fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
24389, 241, 242syl2anc 673 . . . . . . . . 9 deg coeff
244243adantlr 729 . . . . . . . 8 deg coeff
245 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
246245ad2antlr 741 . . . . . . . 8 deg
247244, 246oveq12d 6326 . . . . . . 7 deg coeff
248247sumeq2dv 13846 . . . . . 6 deg deg coeff
249 fzfid 12224 . . . . . . 7 deg
250249, 132fsumcl 13876 . . . . . 6 deg coeff
2512, 248, 129, 250fvmptd 5969 . . . . 5 deg coeff
25217, 16coeid2 23272 . . . . . . . 8 Poly degcoeff
2535, 129, 252syl2anc 673 . . . . . . 7 degcoeff
254253oveq1d 6323 . . . . . 6 degcoeff
25586adantr 472 . . . . . . . . 9 deg coeff
256186adantl 473 . . . . . . . . 9 deg
257255, 256ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8 deg coeff
258129adantr 472 . . . . . . . . 9 deg
259258, 256expcld 12454 . . . . . . . 8 deg
260257, 259mulcld 9681 . . . . . . 7 deg coeff
261238, 169, 260, 234fsumdivc 13924 . . . . . 6 degcoeff degcoeff
262254, 261eqtrd 2505 . . . . 5 degcoeff
263240, 251, 2623eqtr4d 2515 . . . 4
264 elaa2lemOLD.ga . . . . 5
265264oveq1d 6323 . . . 4
266263, 265, 2353eqtrd 2509 . . 3
267125, 266jca 541 . 2 coeff
268 fveq2 5879 . . . . . 6 coeff coeff
269268fveq1d 5881 . . . . 5 coeff coeff
270269neeq1d 2702 . . . 4 coeff coeff
271 fveq1 5878 . . . . 5
272271eqeq1d 2473 . . . 4
273270, 272anbi12d 725 . . 3 coeff coeff
274273rspcev 3136 . 2 Poly coeff Polycoeff
27560, 267, 274syl2anc 673 1 Polycoeff
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  crab 2760   cdif 3387   wss 3390  c0 3722  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  cexp 12310  csu 13829  c0p 22706  Polycply 23217  coeffccoe 23219  degcdgr 23220  caa 23346 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-coe 23223  df-dgr 23224  df-aa 23347 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator