MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elaa Structured version   Unicode version

Theorem elaa 22584
Description: Elementhood in the set of algebraic numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
elaa  |-  ( A  e.  AA  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
Distinct variable group:    A, f

Proof of Theorem elaa
StepHypRef Expression
1 df-aa 22583 . . 3  |-  AA  =  U_ f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) ( `' f " { 0 } )
21eleq2i 2521 . 2  |-  ( A  e.  AA  <->  A  e.  U_ f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) ( `' f " { 0 } ) )
3 eliun 4320 . . 3  |-  ( A  e.  U_ f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( `' f " { 0 } )  <->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) A  e.  ( `' f " { 0 } ) )
4 eldifi 3611 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } )  -> 
f  e.  (Poly `  ZZ ) )
5 plyf 22468 . . . . . 6  |-  ( f  e.  (Poly `  ZZ )  ->  f : CC --> CC )
6 ffn 5721 . . . . . 6  |-  ( f : CC --> CC  ->  f  Fn  CC )
7 fniniseg 5993 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  CC  ->  ( A  e.  ( `' f " { 0 } )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( f `
 A )  =  0 ) ) )
84, 5, 6, 74syl 21 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } )  -> 
( A  e.  ( `' f " {
0 } )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( f `
 A )  =  0 ) ) )
98rexbiia 2944 . . . 4  |-  ( E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) A  e.  ( `' f " { 0 } )  <->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( A  e.  CC  /\  (
f `  A )  =  0 ) )
10 r19.42v 2998 . . . 4  |-  ( E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) ( A  e.  CC  /\  ( f `  A
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  CC  /\ 
E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p }
) ( f `  A )  =  0 ) )
119, 10bitri 249 . . 3  |-  ( E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) A  e.  ( `' f " { 0 } )  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
123, 11bitri 249 . 2  |-  ( A  e.  U_ f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( `' f " { 0 } )  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
132, 12bitri 249 1  |-  ( A  e.  AA  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794    \ cdif 3458   {csn 4014   U_ciun 4315   `'ccnv 4988   "cima 4992    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578   CCcc 9493   0cc0 9495   ZZcz 10870   0pc0p 21949  Polycply 22454   AAcaa 22582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-ply 22458  df-aa 22583
This theorem is referenced by:  aacn  22585  elqaalem3  22589  elqaa  22590  iaa  22593  aareccl  22594  aacjcl  22595  aannenlem2  22597  aaliou2  22608
  Copyright terms: Public domain W3C validator