MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elaa Structured version   Unicode version

Theorem elaa 21741
Description: Elementhood in the set of algebraic numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
elaa  |-  ( A  e.  AA  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
Distinct variable group:    A, f

Proof of Theorem elaa
StepHypRef Expression
1 df-aa 21740 . . 3  |-  AA  =  U_ f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) ( `' f " { 0 } )
21eleq2i 2505 . 2  |-  ( A  e.  AA  <->  A  e.  U_ f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) ( `' f " { 0 } ) )
3 eliun 4172 . . 3  |-  ( A  e.  U_ f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( `' f " { 0 } )  <->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) A  e.  ( `' f " { 0 } ) )
4 eldifi 3475 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } )  -> 
f  e.  (Poly `  ZZ ) )
5 plyf 21625 . . . . . 6  |-  ( f  e.  (Poly `  ZZ )  ->  f : CC --> CC )
6 ffn 5556 . . . . . 6  |-  ( f : CC --> CC  ->  f  Fn  CC )
7 fniniseg 5821 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  CC  ->  ( A  e.  ( `' f " { 0 } )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( f `
 A )  =  0 ) ) )
84, 5, 6, 74syl 21 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } )  -> 
( A  e.  ( `' f " {
0 } )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( f `
 A )  =  0 ) ) )
98rexbiia 2746 . . . 4  |-  ( E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) A  e.  ( `' f " { 0 } )  <->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( A  e.  CC  /\  (
f `  A )  =  0 ) )
10 r19.42v 2873 . . . 4  |-  ( E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) ( A  e.  CC  /\  ( f `  A
)  =  0 )  <-> 
( A  e.  CC  /\ 
E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p }
) ( f `  A )  =  0 ) )
119, 10bitri 249 . . 3  |-  ( E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) A  e.  ( `' f " { 0 } )  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
123, 11bitri 249 . 2  |-  ( A  e.  U_ f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( `' f " { 0 } )  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
132, 12bitri 249 1  |-  ( A  e.  AA  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714    \ cdif 3322   {csn 3874   U_ciun 4168   `'ccnv 4835   "cima 4839    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415   CCcc 9276   0cc0 9278   ZZcz 10642   0pc0p 21106  Polycply 21611   AAcaa 21739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-ply 21615  df-aa 21740
This theorem is referenced by:  aacn  21742  elqaalem3  21746  elqaa  21747  iaa  21750  aareccl  21751  aacjcl  21752  aannenlem2  21754  aaliou2  21765
  Copyright terms: Public domain W3C validator