Theorem elOLD 3486

Description: Every set is an element of some other set. See elALT 3494 for a shorter proof using more axioms.

Assertion

Ref	Expression
elOLD	|- E.y x e. y

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem elOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pow 3481	. 2 |- E.yA.z(A.w(w e. z -> w e. x) -> z e. y)
2		id 73	. . . . 5 |- (w e. x -> w e. x)
3	2	ax-gen 1305	. . . 4 |- A.w(w e. x -> w e. x)
4		elequ2 1497	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (w e. z <-> w e. x))
5	4	imbi1d 675	. . . . . . 7 |- (z = x -> ((w e. z -> w e. x) <-> (w e. x -> w e. x)))
6	5	albidv 1656	. . . . . 6 |- (z = x -> (A.w(w e. z -> w e. x) <-> A.w(w e. x -> w e. x)))
7		elequ1 1496	. . . . . 6 |- (z = x -> (z e. y <-> x e. y))
8	6, 7	imbi12d 688	. . . . 5 |- (z = x -> ((A.w(w e. z -> w e. x) -> z e. y) <-> (A.w(w e. x -> w e. x) -> x e. y)))
9	8	a4v 1649	. . . 4 |- (A.z(A.w(w e. z -> w e. x) -> z e. y) -> (A.w(w e. x -> w e. x) -> x e. y))
10	3, 9	mpi 55	. . 3 |- (A.z(A.w(w e. z -> w e. x) -> z e. y) -> x e. y)
11	10	eximi 1387	. 2 |- (E.yA.z(A.w(w e. z -> w e. x) -> z e. y) -> E.y x e. y)
12	1, 11	ax-mp 7	1 |- E.y x e. y

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-pow 3481

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-an 242  df-ex 1327

Copyright terms: Public domain