Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  el2xptp Structured version   Unicode version

Theorem el2xptp 30131
Description: A member of a nested Cartesian product is an ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
el2xptp  |-  ( A  e.  ( ( B  X.  C )  X.  D )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  C  E. z  e.  D  A  =  <. x ,  y ,  z >. )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    x, C, y, z    x, D, y, z

Proof of Theorem el2xptp
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp2 4863 . 2  |-  ( A  e.  ( ( B  X.  C )  X.  D )  <->  E. p  e.  ( B  X.  C
) E. z  e.  D  A  =  <. p ,  z >. )
2 opeq1 4064 . . . . 5  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  <. p ,  z
>.  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>. )
32eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  = 
<. p ,  z >.  <->  A  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. ) )
43rexbidv 2741 . . 3  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  ( E. z  e.  D  A  =  <. p ,  z >.  <->  E. z  e.  D  A  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. ) )
54rexxp 4987 . 2  |-  ( E. p  e.  ( B  X.  C ) E. z  e.  D  A  =  <. p ,  z
>. 
<->  E. x  e.  B  E. y  e.  C  E. z  e.  D  A  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>. )
6 df-ot 3891 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y ,  z
>.  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.
76eqcomi 2447 . . . . . 6  |-  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  =  <. x ,  y ,  z >.
87eqeq2i 2453 . . . . 5  |-  ( A  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  <->  A  =  <. x ,  y ,  z >. )
98rexbii 2745 . . . 4  |-  ( E. z  e.  D  A  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  <->  E. z  e.  D  A  =  <. x ,  y ,  z >. )
109rexbii 2745 . . 3  |-  ( E. y  e.  C  E. z  e.  D  A  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  <->  E. y  e.  C  E. z  e.  D  A  =  <. x ,  y ,  z >. )
1110rexbii 2745 . 2  |-  ( E. x  e.  B  E. y  e.  C  E. z  e.  D  A  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  C  E. z  e.  D  A  =  <. x ,  y ,  z >. )
121, 5, 113bitri 271 1  |-  ( A  e.  ( ( B  X.  C )  X.  D )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  C  E. z  e.  D  A  =  <. x ,  y ,  z >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721   <.cop 3888   <.cotp 3890    X. cxp 4843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-ot 3891  df-iun 4178  df-opab 4356  df-xp 4851  df-rel 4852
This theorem is referenced by:  2spotmdisj  30666
  Copyright terms: Public domain W3C validator