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Theorem el2wlksotot 24858
Description: A walk of length 2 between two vertices (in a graph) as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
el2wlksotot  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( <. A ,  B ,  C >.  e.  ( V 2WalksOt  E )  <->  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, p    B, f, p    C, f, p    f, E, p   
f, V, p    f, X, p    f, Y, p

Proof of Theorem el2wlksotot
Dummy variables  a 
b  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlksot 24843 . . . 4  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( V 2WalksOt  E )  =  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) } )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( V 2WalksOt  E )  =  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) } )
32eleq2d 2513 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( <. A ,  B ,  C >.  e.  ( V 2WalksOt  E )  <->  <. A ,  B ,  C >.  e. 
{ t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) } ) )
4 eleq1 2515 . . . . . 6  |-  ( t  =  <. A ,  B ,  C >.  ->  ( t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  <->  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E )
b ) ) )
542rexbidv 2961 . . . . 5  |-  ( t  =  <. A ,  B ,  C >.  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E )
b ) ) )
65elrab 3243 . . . 4  |-  ( <. A ,  B ,  C >.  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) }  <->  ( <. A ,  B ,  C >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( <. A ,  B ,  C >.  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) }  <->  ( <. A ,  B ,  C >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) ) )
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  <. A ,  B ,  C >.  = 
<. A ,  B ,  C >.
9 otel3xp 5025 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  B ,  C >.  =  <. A ,  B ,  C >.  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
) )  ->  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) )
108, 9mpan 670 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  -> 
<. A ,  B ,  C >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V ) )
1211biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  (
a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  <->  ( <. A ,  B ,  C >.  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) ) )
13 el2wlkonotot0 24848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( <. A ,  B ,  C >.  e.  (
a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  <->  ( A  =  a  /\  C  =  b  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
1413adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( <. A ,  B ,  C >.  e.  (
a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  <->  ( A  =  a  /\  C  =  b  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) ) ) )
15 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  a  /\  C  =  b  /\  E. f E. p ( f ( V Walks  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  2  /\  ( A  =  ( p ` 
0 )  /\  B  =  ( p ` 
1 )  /\  C  =  ( p ` 
2 ) ) ) )  ->  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) )
1614, 15syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( <. A ,  B ,  C >.  e.  (
a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
1716rexlimdvva 2942 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  (
a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
18 el2wlkonotot 24849 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C )  <->  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
1918bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) )  <->  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C ) ) )
20193adantr2 1157 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) )  <->  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C ) ) )
21 simplr1 1039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C ) )  ->  A  e.  V )
22 simplr3 1041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C ) )  ->  C  e.  V )
23 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C ) )  ->  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C ) )
24 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  =  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )
2524eleq2d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( <. A ,  B ,  C >.  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E )
b )  <->  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
26 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  C  ->  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) b )  =  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C ) )
2726eleq2d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  C  ->  ( <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E )
b )  <->  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C ) ) )
2825, 27rspc2ev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V  /\  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E )
b ) )
2921, 22, 23, 28syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )
3029ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( <. A ,  B ,  C >.  e.  ( A ( V 2WalksOnOt  E ) C )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
3120, 30sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
3217, 31impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( E. a  e.  V  E. b  e.  V  <. A ,  B ,  C >.  e.  (
a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  <->  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
337, 12, 323bitr2d 281 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( <. A ,  B ,  C >.  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) }  <->  E. f E. p
( f ( V Walks 
E ) p  /\  ( # `  f )  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
343, 33bitrd 253 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( <. A ,  B ,  C >.  e.  ( V 2WalksOt  E )  <->  E. f E. p ( f ( V Walks  E ) p  /\  ( # `  f
)  =  2  /\  ( A  =  ( p `  0 )  /\  B  =  ( p `  1 )  /\  C  =  ( p `  2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   E.wrex 2794   {crab 2797   <.cotp 4022   class class class wbr 4437    X. cxp 4987   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496   2c2 10592   #chash 12386   Walks cwalk 24474   2WalksOt c2wlkot 24830   2WalksOnOt c2wlkonot 24831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-word 12523  df-wlk 24484  df-wlkon 24490  df-2wlkonot 24834  df-2wlksot 24835
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