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Theorem el2wlksoton 30546
Description: A walk of length 2 between two vertices (in a graph) as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
el2wlksoton  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  ( V 2WalksOt  E )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
Distinct variable groups:    T, a,
b    E, a, b    V, a, b
Allowed substitution hints:    X( a, b)    Y( a, b)

Proof of Theorem el2wlksoton
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlksot 30535 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( V 2WalksOt  E )  =  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) } )
21eleq2d 2524 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  ( V 2WalksOt  E )  <->  T  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a
( V 2WalksOnOt  E ) b ) } ) )
3 eleq1 2526 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  (
t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E )
b )  <->  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
432rexbidv 2880 . . . 4  |-  ( t  =  T  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a
( V 2WalksOnOt  E ) b )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a
( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
54elrab 3224 . . 3  |-  ( T  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) }  <->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
65a1i 11 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a
( V 2WalksOnOt  E ) b ) }  <->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) ) )
7 simpr 461 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )
9 2wlkonot3v 30543 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  T  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) ) )
109simp3d 1002 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  T  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V ) )
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  ( T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
1211rexlimivv 2952 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  T  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V ) )
138, 12jccil 540 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )  ->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
1413ex 434 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) ) )
157, 14impbid2 204 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a
( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
162, 6, 153bitrd 279 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  ( V 2WalksOt  E )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    X. cxp 4947  (class class class)co 6201   2WalksOt c2wlkot 30522   2WalksOnOt c2wlkonot 30523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-2wlkonot 30526  df-2wlksot 30527
This theorem is referenced by:  el2wlksot  30548  2wot2wont  30554
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