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Theorem el2wlksoton 25080
Description: A walk of length 2 between two vertices (in a graph) as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
el2wlksoton  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  ( V 2WalksOt  E )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
Distinct variable groups:    T, a,
b    E, a, b    V, a, b
Allowed substitution hints:    X( a, b)    Y( a, b)

Proof of Theorem el2wlksoton
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlksot 25069 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( V 2WalksOt  E )  =  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) } )
21eleq2d 2524 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  ( V 2WalksOt  E )  <->  T  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a
( V 2WalksOnOt  E ) b ) } ) )
3 eleq1 2526 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  (
t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E )
b )  <->  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
432rexbidv 2972 . . . 4  |-  ( t  =  T  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a
( V 2WalksOnOt  E ) b )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a
( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
54elrab 3254 . . 3  |-  ( T  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) }  <->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
65a1i 11 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a
( V 2WalksOnOt  E ) b ) }  <->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) ) )
7 simpr 459 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )
8 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )
9 2wlkonot3v 25077 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  T  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) ) )
109simp3d 1008 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  T  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V ) )
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  ( T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
1211rexlimivv 2951 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  T  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V ) )
138, 12jccil 538 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )  ->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
1413ex 432 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b )  ->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) ) )
157, 14impbid2 204 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a
( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
162, 6, 153bitrd 279 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  ( V 2WalksOt  E )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2WalksOnOt  E ) b ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    X. cxp 4986  (class class class)co 6270   2WalksOt c2wlkot 25056   2WalksOnOt c2wlkonot 25057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-2wlkonot 25060  df-2wlksot 25061
This theorem is referenced by:  el2wlksot  25082  2wot2wont  25088
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