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Theorem el2spthsoton 25006
Description: A simple path of length 2 between two vertices (in a graph) as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
el2spthsoton  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) ) )
Distinct variable groups:    T, a,
b    E, a, b    V, a, b
Allowed substitution hints:    X( a, b)    Y( a, b)

Proof of Theorem el2spthsoton
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2spthsot 24995 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( V 2SPathOnOt  E )  =  { t  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) } )
21eleq2d 2527 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  T  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) } ) )
3 eleq1 2529 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  (
t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E )
b )  <->  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) ) )
432rexbidv 2975 . . . 4  |-  ( t  =  T  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) ) )
54elrab 3257 . . 3  |-  ( T  e.  { t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) }  <->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) ) )
65a1i 11 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  {
t  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  |  E. a  e.  V  E. b  e.  V  t  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) }  <->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) ) ) )
7 simpr 461 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )
9 2spthonot3v 25003 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  T  e.  (
( V  X.  V
)  X.  V ) ) )
109simp3d 1010 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  T  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V ) )
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  ( T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
) ) )
1211rexlimivv 2954 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  T  e.  ( ( V  X.  V
)  X.  V ) )
138, 12jccil 540 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  ->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) ) )
1413ex 434 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b )  ->  ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V )  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) ) ) )
157, 14impbid2 204 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( ( T  e.  ( ( V  X.  V )  X.  V
)  /\  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a
( V 2SPathOnOt  E ) b ) ) )
162, 6, 153bitrd 279 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( T  e.  ( V 2SPathOnOt  E )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  T  e.  ( a ( V 2SPathOnOt  E ) b ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    X. cxp 5006  (class class class)co 6296   2SPathOnOt c2spthot 24983   2SPathOnOt c2pthonot 24984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-2spthonot 24987  df-2spthsot 24988
This theorem is referenced by:  el2pthsot  25008  2spot2iun2spont  25018  usg2spot2nb  25192
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