Theorem el2fzo 30336

Description: The lower limit of a half-open integer range which is equal to a nonempty half-open integer range is element of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
el2fzo	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> J e. ( J..^ K ) ) )

Proof of Theorem el2fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzolb 11645	. . . . . 6 |- ( M e. ( M..^ N ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) )
2	1	biimpri 206	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> M e. ( M..^ N ) )
3	2	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> M e. ( M..^ N ) )
4		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> ( M..^ N ) = ( J..^ K ) )
5	3, 4	eleqtrd 2538	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> M e. ( J..^ K ) )
6		elfzo2 11643	. . . 4 |- ( M e. ( J..^ K ) <-> ( M e. ( ZZ>= ` J ) /\ K e. ZZ /\ M < K ) )
7	6	biimpi 194	. . 3 |- ( M e. ( J..^ K ) -> ( M e. ( ZZ>= ` J ) /\ K e. ZZ /\ M < K ) )
8		eluzel2 10953	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` J ) -> J e. ZZ )
9	8	3ad2ant1 1009	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` J ) /\ K e. ZZ /\ M < K ) -> J e. ZZ )
10		simp2 989	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` J ) /\ K e. ZZ /\ M < K ) -> K e. ZZ )
11		eluz2 10954	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` J ) <-> ( J e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J <_ M ) )
12		zre 10737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ZZ -> J e. RR )
13		zre 10737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
14		zre 10737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
15	12, 13, 14	3anim123i 1173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J e. RR /\ M e. RR /\ K e. RR ) )
16	15	3expa 1188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( J e. RR /\ M e. RR /\ K e. RR ) )
17		lelttr 9552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. RR /\ M e. RR /\ K e. RR ) -> ( ( J <_ M /\ M < K ) -> J < K ) )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( J <_ M /\ M < K ) -> J < K ) )
19	18	exp4b 607	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K e. ZZ -> ( J <_ M -> ( M < K -> J < K ) ) ) )
20	19	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( J <_ M -> ( K e. ZZ -> ( M < K -> J < K ) ) ) )
21	20	3impia 1185	. . . . . 6 |- ( ( J e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J <_ M ) -> ( K e. ZZ -> ( M < K -> J < K ) ) )
22	11, 21	sylbi 195	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` J ) -> ( K e. ZZ -> ( M < K -> J < K ) ) )
23	22	3imp 1182	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` J ) /\ K e. ZZ /\ M < K ) -> J < K )
24		fzolb 11645	. . . 4 |- ( J e. ( J..^ K ) <-> ( J e. ZZ /\ K e. ZZ /\ J < K ) )
25	9, 10, 23, 24	syl3anbrc 1172	. . 3 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` J ) /\ K e. ZZ /\ M < K ) -> J e. ( J..^ K ) )
26	5, 7, 25	3syl 20	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) /\ ( M..^ N ) = ( J..^ K ) ) -> J e. ( J..^ K ) )
27	26	ex 434	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) = ( J..^ K ) -> J e. ( J..^ K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1757   class class class wbr 4376   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   RRcr 9368   < clt 9505   <_ cle 9506   ZZcz 10733   ZZ>=cuz 10948  ..^cfzo 11635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636

This theorem is referenced by:  fzoopth  30337