Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  el2fzo Structured version   Unicode version

Theorem el2fzo 30336
Description: The lower limit of a half-open integer range which is equal to a nonempty half-open integer range is element of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
el2fzo  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  J  e.  ( J..^ K ) ) )

Proof of Theorem el2fzo
StepHypRef Expression
1 fzolb 11645 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N ) )
21biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( M..^ N ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ( M..^ N ) )
4 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )
53, 4eleqtrd 2538 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  M  e.  ( J..^ K ) )
6 elfzo2 11643 . . . 4  |-  ( M  e.  ( J..^ K
)  <->  ( M  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <  K ) )
76biimpi 194 . . 3  |-  ( M  e.  ( J..^ K
)  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <  K ) )
8 eluzel2 10953 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  J  e.  ZZ )
983ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  < 
K )  ->  J  e.  ZZ )
10 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  < 
K )  ->  K  e.  ZZ )
11 eluz2 10954 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  J
)  <->  ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  <_  M ) )
12 zre 10737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
13 zre 10737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
14 zre 10737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1512, 13, 143anim123i 1173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
16153expa 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
17 lelttr 9552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  (
( J  <_  M  /\  M  <  K )  ->  J  <  K
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( J  <_  M  /\  M  <  K )  ->  J  <  K ) )
1918exp4b 607 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( J  <_  M  ->  ( M  <  K  ->  J  <  K ) ) ) )
2019com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( J  <_  M  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  <  K  ->  J  <  K ) ) ) )
21203impia 1185 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  J  <_  M )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  <  K  ->  J  <  K ) ) )
2211, 21sylbi 195 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  <  K  ->  J  <  K ) ) )
23223imp 1182 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  < 
K )  ->  J  <  K )
24 fzolb 11645 . . . 4  |-  ( J  e.  ( J..^ K
)  <->  ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  J  < 
K ) )
259, 10, 23, 24syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  J )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  < 
K )  ->  J  e.  ( J..^ K ) )
265, 7, 253syl 20 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  /\  ( M..^ N )  =  ( J..^ K ) )  ->  J  e.  ( J..^ K ) )
2726ex 434 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N )  =  ( J..^ K
)  ->  J  e.  ( J..^ K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   class class class wbr 4376   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   RRcr 9368    < clt 9505    <_ cle 9506   ZZcz 10733   ZZ>=cuz 10948  ..^cfzo 11635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636
This theorem is referenced by:  fzoopth  30337
  Copyright terms: Public domain W3C validator