Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  el1fzopredsuc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem el1fzopredsuc 38759
Description: An element of an open integer interval starting at 1 joined by 0 and a successor at the beginning and the end is either 0 or an element of the open integer interval or the successor. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
el1fzopredsuc  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I  e.  ( 0 ... N )  <->  ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N ) ) )

Proof of Theorem el1fzopredsuc
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11828 . . 3  |-  ( I  e.  ( 0 ... N )  ->  I  e.  ZZ )
2 1fzopredsuc 38758 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ... N )  =  ( ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) )  u. 
{ N } ) )
32eleq2d 2524 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I  e.  ( 0 ... N )  <->  I  e.  ( ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) )  u. 
{ N } ) ) )
4 elun 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  ( ( { 0 }  u.  (
1..^ N ) )  u.  { N }
)  <->  ( I  e.  ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) )  \/  I  e.  { N } ) )
5 elun 3585 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) )  <->  ( I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ N ) ) )
65orbi1i 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( { 0 }  u.  (
1..^ N ) )  \/  I  e.  { N } )  <->  ( (
I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ N ) )  \/  I  e. 
{ N } ) )
74, 6bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( ( { 0 }  u.  (
1..^ N ) )  u.  { N }
)  <->  ( ( I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ N ) )  \/  I  e.  { N } ) )
8 elsncg 4002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I  e.  { 0 }  <->  I  =  0
) )
98adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( I  e.  {
0 }  <->  I  = 
0 ) )
109orbi1d 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( I  e. 
{ 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ N ) )  <->  ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
11 elsncg 4002 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I  e.  { N } 
<->  I  =  N ) )
1211adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( I  e.  { N }  <->  I  =  N
) )
1310, 12orbi12d 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ N ) )  \/  I  e.  { N } )  <->  ( (
I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N ) )  \/  I  =  N ) ) )
147, 13syl5bb 265 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( I  e.  ( ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) )  u.  { N } )  <->  ( (
I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N ) )  \/  I  =  N ) ) )
15 df-3or 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N )  <->  ( (
I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N ) )  \/  I  =  N ) )
1615biimpri 211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N ) )  \/  I  =  N )  ->  ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N ) )
1714, 16syl6bi 236 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( I  e.  ( ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) )  u.  { N } )  ->  (
I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N ) ) )
1817ex 440 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I  e.  ZZ  ->  (
I  e.  ( ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) )  u.  { N }
)  ->  ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N ) ) ) )
1918com23 81 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I  e.  ( ( { 0 }  u.  (
1..^ N ) )  u.  { N }
)  ->  ( I  e.  ZZ  ->  ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N ) ) ) )
203, 19sylbid 223 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I  e.  ( 0 ... N )  ->  (
I  e.  ZZ  ->  ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N ) ) ) )
211, 20mpdi 43 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I  e.  ( 0 ... N )  ->  (
I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N ) ) )
22 c0ex 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
2322snid 4007 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  { 0 }
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  0  ->  0  e.  { 0 } )
25 eleq1 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  0  ->  (
I  e.  { 0 }  <->  0  e.  {
0 } ) )
2624, 25mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  0  ->  I  e.  { 0 } )
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I  =  0  ->  I  e.  { 0 } ) )
28 idd 25 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I  e.  ( 1..^ N )  ->  I  e.  ( 1..^ N ) ) )
29 snidg 4005 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
{ N } )
30 eleq1 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  N  ->  (
I  e.  { N } 
<->  N  e.  { N } ) )
3129, 30syl5ibrcom 230 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I  =  N  ->  I  e.  { N } ) )
3227, 28, 313orim123d 1356 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N )  ->  (
I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  e.  { N } ) ) )
3332imp 435 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( I  =  0  \/  I  e.  (
1..^ N )  \/  I  =  N ) )  ->  ( I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  e.  { N } ) )
34 df-3or 992 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  e.  { N } )  <->  ( (
I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ N ) )  \/  I  e. 
{ N } ) )
3533, 34sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( I  =  0  \/  I  e.  (
1..^ N )  \/  I  =  N ) )  ->  ( (
I  e.  { 0 }  \/  I  e.  ( 1..^ N ) )  \/  I  e. 
{ N } ) )
3635, 7sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( I  =  0  \/  I  e.  (
1..^ N )  \/  I  =  N ) )  ->  I  e.  ( ( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) )  u. 
{ N } ) )
373adantr 471 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( I  =  0  \/  I  e.  (
1..^ N )  \/  I  =  N ) )  ->  ( I  e.  ( 0 ... N
)  <->  I  e.  (
( { 0 }  u.  ( 1..^ N ) )  u.  { N } ) ) )
3836, 37mpbird 240 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( I  =  0  \/  I  e.  (
1..^ N )  \/  I  =  N ) )  ->  I  e.  ( 0 ... N
) )
3938ex 440 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N )  ->  I  e.  ( 0 ... N
) ) )
4021, 39impbid 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I  e.  ( 0 ... N )  <->  ( I  =  0  \/  I  e.  ( 1..^ N )  \/  I  =  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    \/ w3o 990    = wceq 1454    e. wcel 1897    u. cun 3413   {csn 3979  (class class class)co 6314   0cc0 9564   1c1 9565   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ...cfz 11812  ..^cfzo 11945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator