Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  el0ldep Structured version   Unicode version

Theorem el0ldep 32441
 Description: A set containing the zero element of a module is always linearly dependent, if the underlying ring has at least two elements. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
el0ldep Scalar linDepS

Proof of Theorem el0ldep
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5
2 eqid 2467 . . . . 5 Scalar Scalar
3 eqid 2467 . . . . 5 Scalar Scalar
4 eqid 2467 . . . . 5 Scalar Scalar
5 eqeq1 2471 . . . . . . 7
65ifbid 3966 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar
76cbvmptv 4543 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar Scalar
81, 2, 3, 4, 7mptcfsupp 32347 . . . 4 Scalar Scalar finSupp Scalar
983adant1r 1221 . . 3 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar
10 simp1l 1020 . . . 4 Scalar
11 simp2 997 . . . 4 Scalar
12 eqid 2467 . . . . 5
13 eqid 2467 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar Scalar
141, 2, 3, 4, 12, 13linc0scn0 32398 . . . 4 Scalar Scalar linC
1510, 11, 14syl2anc 661 . . 3 Scalar Scalar Scalar linC
16 simp3 998 . . . . . 6 Scalar
17 fvex 5881 . . . . . . 7 Scalar
1817a1i 11 . . . . . 6 Scalar Scalar
19 iftrue 3950 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
2019, 13fvmptg 5954 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar
2116, 18, 20syl2anc 661 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar Scalar
222lmodring 17368 . . . . . . . 8 Scalar
2322anim1i 568 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
24233ad2ant1 1017 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
25 eqid 2467 . . . . . . 7 Scalar Scalar
2625, 4, 3ring1ne0 17088 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar
2724, 26syl 16 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
2821, 27eqnetrd 2760 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
29 fveq2 5871 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar
3029neeq1d 2744 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
3130adantl 466 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
3216, 31rspcedv 3223 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
3328, 32mpd 15 . . 3 Scalar Scalar Scalar Scalar
342, 25, 4lmod1cl 17387 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
352, 25, 3lmod0cl 17386 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
3634, 35ifcld 3987 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
3736adantr 465 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar
38373ad2ant1 1017 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar
3938adantr 465 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar
4039, 13fmptd 6055 . . . . 5 Scalar Scalar ScalarScalar
41 fvex 5881 . . . . . . 7 Scalar
4241a1i 11 . . . . . 6 Scalar Scalar
43 elmapg 7443 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar
4442, 11, 43syl2anc 661 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar
4540, 44mpbird 232 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
46 breq1 4455 . . . . . 6 Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar
47 oveq1 6301 . . . . . . 7 Scalar Scalar linC Scalar Scalar linC
4847eqeq1d 2469 . . . . . 6 Scalar Scalar linC Scalar Scalar linC
49 fveq1 5870 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar
5049neeq1d 2744 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
5150rexbidv 2978 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
5246, 48, 513anbi123d 1299 . . . . 5 Scalar Scalar finSupp Scalar linC Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar Scalar linC Scalar Scalar Scalar
5352adantl 466 . . . 4 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar linC Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar Scalar linC Scalar Scalar Scalar
5445, 53rspcedv 3223 . . 3 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar Scalar linC Scalar Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar linC Scalar
559, 15, 33, 54mp3and 1327 . 2 Scalar Scalar finSupp Scalar linC Scalar
561, 12, 2, 25, 3islindeps 32428 . . 3 linDepS Scalar finSupp Scalar linC Scalar
5710, 11, 56syl2anc 661 . 2 Scalar linDepS Scalar finSupp Scalar linC Scalar
5855, 57mpbird 232 1 Scalar linDepS
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wrex 2818  cvv 3118  cif 3944  cpw 4015   class class class wbr 4452   cmpt 4510  wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6294   cmap 7430   finSupp cfsupp 7839  c1 9503   clt 9638  chash 12383  cbs 14502  Scalarcsca 14570  c0g 14707  cur 17002  crg 17047  clmod 17360   linC clinc 32379   linDepS clindeps 32416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-seq 12086  df-hash 12384  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-plusg 14580  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-lmod 17362  df-linc 32381  df-lininds 32417  df-lindeps 32419 This theorem is referenced by:  el0ldepsnzr  32442
 Copyright terms: Public domain W3C validator