Theorem eirrlem5 8655

Description: Lemma for eirr 8656.

Hypotheses

Ref	Expression
eirrlem2.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
eirrlem2.2	|- P e. ZZ
eirrlem2.3	|- Q e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem5	|- -. _e = (P / Q)

Distinct variable group:   Q,j,y

Proof of Theorem eirrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 7355	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eirrlem2.1	. . . 4 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
3		eirrlem2.2	. . . 4 |- P e. ZZ
4		eirrlem2.3	. . . 4 |- Q e. NN
5	2, 3, 4	eirrlem4 8654	. . 3 |- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k))
6	2, 3, 4	eirrlem3 8653	. . . 4 |- ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k)) < 1
7		ax1cn 6422	. . . . 5 |- 1 e. CC
8	7	addid2i 6484	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
9	6, 8	breqtrri 3362	. . 3 |- ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k)) < (0 + 1)
10		btwnnz 7404	. . 3 |- ((0 e. ZZ /\ 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k)) /\ ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k)) < (0 + 1)) -> -. ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ)
11	1, 5, 9, 10	mp3an 1191	. 2 |- -. ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ
12		efval 8570	. . . . . . . . . 10 |- (1 e. CC -> (exp` 1) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k)))
13	7, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (exp` 1) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k))
14		df-e 8561	. . . . . . . . 9 |- _e = (exp` 1)
15	2	eftval 8578	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((1^k) / (!` k)))
16	15	sumeq2i 8248	. . . . . . . . 9 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k))
17	13, 14, 16	3eqtr4i 1921	. . . . . . . 8 |- _e = sum_k e. NN0 (F` k)
18	17	eqeq1i 1891	. . . . . . 7 |- (_e = (P / Q) <-> sum_k e. NN0 (F` k) = (P / Q))
19	18	biimpi 168	. . . . . 6 |- (_e = (P / Q) -> sum_k e. NN0 (F` k) = (P / Q))
20	19	opreq1d 4897	. . . . 5 |- (_e = (P / Q) -> (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k)) = ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k)))
21	20	opreq2d 4898	. . . 4 |- (_e = (P / Q) -> ((!` Q) x. (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) = ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))))
22		ere 8592	. . . . . . . 8 |- _e e. RR
23	17, 22	eqeltrri 1968	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) e. RR
24	23	recni 6467	. . . . . 6 |- sum_k e. NN0 (F` k) e. CC
25	4	nnnn0i 7316	. . . . . . . 8 |- Q e. NN0
26		nn0uz 7607	. . . . . . . 8 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
27	25, 26	eleqtri 1969	. . . . . . 7 |- Q e. (ZZ>=` 0)
28		fzssuz 7677	. . . . . . . 8 |- (0...Q) C_ (ZZ>=` 0)
29		elnn0uz 7610	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>=` 0))
30		eftcl 8565	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 e. CC /\ k e. NN0) -> ((1^k) / (!` k)) e. CC)
31	7, 30	mpan 759	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN0 -> ((1^k) / (!` k)) e. CC)
32	15, 31	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)
33	29, 32	sylbir 218	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` 0) -> (F` k) e. CC)
34	33	rgen 2159	. . . . . . . 8 |- A.k e. (ZZ>=` 0)(F` k) e. CC
35		ssralv 2672	. . . . . . . 8 |- ((0...Q) C_ (ZZ>=` 0) -> (A.k e. (ZZ>=` 0)(F` k) e. CC -> A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC))
36	28, 34, 35	mp2 54	. . . . . . 7 |- A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC
37		fsumcl 8275	. . . . . . 7 |- ((Q e. (ZZ>=` 0) /\ A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC) -> sum_k e. (0...Q)(F` k) e. CC)
38	27, 36, 37	mp2an 761	. . . . . 6 |- sum_k e. (0...Q)(F` k) e. CC
39		peano2nn 7118	. . . . . . . . 9 |- (Q e. NN -> (Q + 1) e. NN)
40	4, 39	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (Q + 1) e. NN
41		nnz 7362	. . . . . . . 8 |- ((Q + 1) e. NN -> (Q + 1) e. ZZ)
42	40, 41	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (Q + 1) e. ZZ
43	2	eftlex 8640	. . . . . . . 8 |- ((1 e. CC /\ (Q + 1) e. NN) -> E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x)
44	7, 40, 43	mp2an 761	. . . . . . 7 |- E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x
45		nn0ex 7314	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. _V
46	45, 2	fopabex2 4541	. . . . . . . 8 |- F e. _V
47	46	isumcl 8470	. . . . . . 7 |- (((Q + 1) e. ZZ /\ E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k) e. CC)
48	42, 44, 47	mp2an 761	. . . . . 6 |- sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k) e. CC
49		eftcl 8565	. . . . . . . . . 10 |- ((1 e. CC /\ j e. NN0) -> ((1^j) / (!` j)) e. CC)
50	7, 49	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN0 -> ((1^j) / (!` j)) e. CC)
51	2, 50	fopab 4800	. . . . . . . 8 |- F:NN0-->CC
52	2	efseq0ex 8573	. . . . . . . . 9 |- (1 e. CC -> E.x( + seq0 F) ~~> x)
53	7, 52	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- E.x( + seq0 F) ~~> x
54	25, 51, 53	isum0spliti 8478	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) = (sum_k e. (0...Q)(F` k) + sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k))
55	54	eqcomi 1888	. . . . . 6 |- (sum_k e. (0...Q)(F` k) + sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k)) = sum_k e. NN0 (F` k)
56	24, 38, 48, 55	subaddrii 6529	. . . . 5 |- (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k)
57	56	opreq2i 4893	. . . 4 |- ((!` Q) x. (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) = ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k))
58	21, 57	syl5eqr 1942	. . 3 |- (_e = (P / Q) -> ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k)) = ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))))
59	2, 3, 4	eirrlem2 8652	. . 3 |- ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) e. ZZ
60	58, 59	syl6eqel 1979	. 2 |- (_e = (P / Q) -> ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>=` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ)
61	11, 60	mto 121	1 |- -. _e = (P / Q)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105   C_ wss 2593  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774   seq0 cseq0 7775  ^cexp 7811  !cfa 8183   ~~> cli 8234  sum_csu 8239  expce 8555  _eceu 8556

This theorem is referenced by:  eirr 8656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-bc 8209  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-e 8561

Copyright terms: Public domain