Theorem eirrlem4 7515

Description: Lemma for eirr 7517.

Hypotheses

Ref	Expression
eirrlem2.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
eirrlem2.2	|- P e. ZZ
eirrlem2.3	|- Q e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem4	|- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))

Distinct variable groups:   k,F   Q,j,k,y

Proof of Theorem eirrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eirrlem2.3	. . . . 5 |- Q e. NN
2	1	nnnn0i 6217	. . . 4 |- Q e. NN0
3		faccl 7063	. . . 4 |- (Q e. NN0 -> (!` Q) e. NN)
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- (!` Q) e. NN
5	4	nnrei 6018	. 2 |- (!` Q) e. RR
6		nn0p1nn 6285	. . . . . 6 |- (Q e. NN0 -> (Q + 1) e. NN)
7	2, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (Q + 1) e. NN
8	7	nnnn0i 6217	. . . 4 |- (Q + 1) e. NN0
9		nn0z 6264	. . . 4 |- ((Q + 1) e. NN0 -> (Q + 1) e. ZZ)
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- (Q + 1) e. ZZ
11		nn0uz 6498	. . . . . . 7 |- NN0 = (ZZ>` 0)
12	8, 11	eleqtri 1583	. . . . . 6 |- (Q + 1) e. (ZZ>` 0)
13		uztrn 6488	. . . . . 6 |- ((k e. (ZZ>` (Q + 1)) /\ (Q + 1) e. (ZZ>` 0)) -> k e. (ZZ>` 0))
14	12, 13	mpan2 699	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` (Q + 1)) -> k e. (ZZ>` 0))
15		elnn0uz 6501	. . . . . 6 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
16		eirrlem2.1	. . . . . . . 8 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
17	16	eftval 7439	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((1^k) / (!` k)))
18		1re 5524	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
19		reeftcl 7497	. . . . . . . 8 |- ((1 e. RR /\ k e. NN0) -> ((1^k) / (!` k)) e. RR)
20	18, 19	mpan 698	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> ((1^k) / (!` k)) e. RR)
21	17, 20	eqeltrd 1585	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. RR)
22	15, 21	sylbir 199	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` 0) -> (F` k) e. RR)
23	14, 22	syl 10	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` (Q + 1)) -> (F` k) e. RR)
24	23	rgen 1736	. . 3 |- A.k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR
25		ax1cn 5358	. . . 4 |- 1 e. CC
26	16	eftlex 7501	. . . 4 |- ((1 e. CC /\ (Q + 1) e. NN) -> E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x)
27	25, 7, 26	mp2an 700	. . 3 |- E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x
28		nn0ex 6215	. . . . 5 |- NN0 e. V
29	28, 16	fopabex2 3687	. . . 4 |- F e. V
30	29	isumrecl 7333	. . 3 |- (((Q + 1) e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR /\ E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR)
31	10, 24, 27, 30	mp3an 919	. 2 |- sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR
32	4	nngt0i 6037	. 2 |- 0 < (!` Q)
33		divgt0 5940	. . . . . . . 8 |- ((((1^k) e. RR /\ 0 < (1^k)) /\ ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k))) -> 0 < ((1^k) / (!` k)))
34		1exp 6707	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (1^k) = 1)
35	34, 18	syl6eqel 1593	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (1^k) e. RR)
36		lt01 5769	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
37	34, 36	syl5breqr 2701	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> 0 < (1^k))
38	35, 37	jca 286	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> ((1^k) e. RR /\ 0 < (1^k)))
39		faccl 7063	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
40		nnre 6016	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
41		nngt0 6033	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
42	40, 41	jca 286	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. NN -> ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k)))
43	39, 42	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k)))
44	33, 38, 43	sylanc 473	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> 0 < ((1^k) / (!` k)))
45	44, 17	breqtrrd 2691	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> 0 < (F` k))
46	21, 45	jca 286	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)))
47	15, 46	sylbir 199	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` 0) -> ((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)))
48	47	rgen 1736	. . 3 |- A.k e. (ZZ>` 0)((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k))
49	16	efseq0ex 7434	. . . . 5 |- (1 e. CC -> E.x( + seq0 F) ~~> x)
50	25, 49	ax-mp 7	. . . 4 |- E.x( + seq0 F) ~~> x
51		addex 5406	. . . . . . 7 |- + e. V
52	51, 29	seq0seqz 6665	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
53	52	breq1i 2676	. . . . 5 |- (( + seq0 F) ~~> x <-> (<.0, + >. seq F) ~~> x)
54	53	exbii 1083	. . . 4 |- (E.x( + seq0 F) ~~> x <-> E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x)
55	50, 54	mpbi 187	. . 3 |- E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x
56	29	iserzgt0 7334	. . 3 |- (((Q + 1) e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (ZZ>` 0)((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)) /\ E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x) -> 0 < sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
57	12, 48, 55, 56	mp3an 919	. 2 |- 0 < sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)
58	5, 31, 32, 57	mulgt0ii 5697	1 |- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))

Syntax hints:   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990  E.wex 1012  A.wral 1683  <.cop 2456   class class class wbr 2669  {copab 2717  ` cfv 3237  (class class class)co 4039  CCcc 5321  RRcr 5322  0cc0 5323  1c1 5324   + caddc 5326   x. cmul 5328   / cdiv 5383  NNcn 5385  NN0cn0 5386  ZZcz 5387   < clt 5575  ZZ>cuz 6477   seq cseqz 6654   seq0 cseq0 6655  ^cexp 6691  !cfa 7054   ~~> cli 7097  sum_csu 7102

This theorem is referenced by:  eirrlem5 7516

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-sup 4658  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-div 5789  df-n 6012  df-2 6058  df-n0 6210  df-z 6246  df-fl 6363  df-uz 6478  df-fz 6528  df-seq1 6601  df-shft 6634  df-seqz 6656  df-seq0 6657  df-exp 6692  df-sqr 6793  df-re 6874  df-im 6875  df-cj 6876  df-abs 6877  df-fac 7055  df-clim 7098  df-sum 7103  df-ef 7421

Copyright terms: Public domain