Theorem eirrlem1 7512

Description: Lemma for eirr 7517.

Hypothesis

Ref	Expression
eirrlem1.1	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem1	|- ((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1

Proof of Theorem eirrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eirrlem1.1	. . . 4 |- N e. NN
2		nnge1 6030	. . . 4 |- (N e. NN -> 1 <_ N)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- 1 <_ N
4		1nn0 6224	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
5	1	nnnn0i 6217	. . . . . 6 |- N e. NN0
6		nn0leltp1 6238	. . . . . 6 |- ((1 e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 <_ N <-> 1 < (N + 1)))
7	4, 5, 6	mp2an 700	. . . . 5 |- (1 <_ N <-> 1 < (N + 1))
8	3, 7	mpbi 187	. . . 4 |- 1 < (N + 1)
9	1	nnrei 6018	. . . . 5 |- N e. RR
10		peano2nn 6022	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (N + 1) e. NN)
11	1, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (N + 1) e. NN
12	11	nnrei 6018	. . . . 5 |- (N + 1) e. RR
13	1	nngt0i 6037	. . . . 5 |- 0 < N
14		ltmulgt11 5931	. . . . 5 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR /\ 0 < N) -> (1 < (N + 1) <-> N < (N x. (N + 1))))
15	9, 12, 13, 14	mp3an 919	. . . 4 |- (1 < (N + 1) <-> N < (N x. (N + 1)))
16	8, 15	mpbi 187	. . 3 |- N < (N x. (N + 1))
17		1re 5524	. . . 4 |- 1 e. RR
18	9, 12	remulcli 5424	. . . 4 |- (N x. (N + 1)) e. RR
19	17, 9, 18	lelttri 5675	. . 3 |- ((1 <_ N /\ N < (N x. (N + 1))) -> 1 < (N x. (N + 1)))
20	3, 16, 19	mp2an 700	. 2 |- 1 < (N x. (N + 1))
21		2re 6067	. . . . 5 |- 2 e. RR
22	9, 21	readdcli 5423	. . . 4 |- (N + 2) e. RR
23	12	resqcli 6745	. . . 4 |- ((N + 1)^2) e. RR
24	11	nnne0i 6038	. . . . . 6 |- (N + 1) =/= 0
25	12	sqgt0i 6749	. . . . . 6 |- ((N + 1) =/= 0 -> 0 < ((N + 1)^2))
26	24, 25	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 < ((N + 1)^2)
27		ltdivmulOLD 5953	. . . . 5 |- ((((N + 2) e. RR /\ ((N + 1)^2) e. RR /\ 1 e. RR) /\ 0 < ((N + 1)^2)) -> (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> (N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1)))
28	26, 27	mpan2 699	. . . 4 |- (((N + 2) e. RR /\ ((N + 1)^2) e. RR /\ 1 e. RR) -> (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> (N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1)))
29	22, 23, 17, 28	mp3an 919	. . 3 |- (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> (N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1))
30	23	recni 5403	. . . . . . 7 |- ((N + 1)^2) e. CC
31	30	mulid1i 5421	. . . . . 6 |- (((N + 1)^2) x. 1) = ((N + 1)^2)
32	11	nncni 6019	. . . . . . . 8 |- (N + 1) e. CC
33	32	sqvali 6736	. . . . . . 7 |- ((N + 1)^2) = ((N + 1) x. (N + 1))
34	1	nncni 6019	. . . . . . . 8 |- N e. CC
35		ax1cn 5358	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
36	34, 35, 32	adddiri 5416	. . . . . . 7 |- ((N + 1) x. (N + 1)) = ((N x. (N + 1)) + (1 x. (N + 1)))
37	32	mulid2i 5422	. . . . . . . 8 |- (1 x. (N + 1)) = (N + 1)
38	37	opreq2i 4048	. . . . . . 7 |- ((N x. (N + 1)) + (1 x. (N + 1))) = ((N x. (N + 1)) + (N + 1))
39	33, 36, 38	3eqtri 1536	. . . . . 6 |- ((N + 1)^2) = ((N x. (N + 1)) + (N + 1))
40	31, 39	eqtri 1532	. . . . 5 |- (((N + 1)^2) x. 1) = ((N x. (N + 1)) + (N + 1))
41	40	breq2i 2677	. . . 4 |- ((N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1) <-> (N + 2) < ((N x. (N + 1)) + (N + 1)))
42	22, 12, 18	ltsubaddi 5683	. . . 4 |- (((N + 2) - (N + 1)) < (N x. (N + 1)) <-> (N + 2) < ((N x. (N + 1)) + (N + 1)))
43		2cn 6068	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
44		pnpcan 5567	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((N + 2) - (N + 1)) = (2 - 1))
45	34, 43, 35, 44	mp3an 919	. . . . . 6 |- ((N + 2) - (N + 1)) = (2 - 1)
46		df-2 6058	. . . . . . . 8 |- 2 = (1 + 1)
47	46	eqcomi 1516	. . . . . . 7 |- (1 + 1) = 2
48	43, 35, 35, 47	subaddrii 5461	. . . . . 6 |- (2 - 1) = 1
49	45, 48	eqtri 1532	. . . . 5 |- ((N + 2) - (N + 1)) = 1
50	49	breq1i 2676	. . . 4 |- (((N + 2) - (N + 1)) < (N x. (N + 1)) <-> 1 < (N x. (N + 1)))
51	41, 42, 50	3bitr2i 177	. . 3 |- ((N + 2) < (((N + 1)^2) x. 1) <-> 1 < (N x. (N + 1)))
52	29, 51	bitri 171	. 2 |- (((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1 <-> 1 < (N x. (N + 1)))
53	20, 52	mpbir 188	1 |- ((N + 2) / ((N + 1)^2)) < 1

Syntax hints:   <-> wb 144   /\ w3a 778   = wceq 988   e. wcel 990   =/= wne 1622   class class class wbr 2669  (class class class)co 4039  CCcc 5321  RRcr 5322  0cc0 5323  1c1 5324   + caddc 5326   x. cmul 5328   - cmin 5381   / cdiv 5383   <_ cle 5384  NNcn 5385  NN0cn0 5386   < clt 5575  2c2 6049  ^cexp 6691

This theorem is referenced by:  eirrlem3 7514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-div 5789  df-n 6012  df-2 6058  df-n0 6210  df-z 6246  df-seq1 6601  df-exp 6692

Copyright terms: Public domain