Theorem eirr 7517

Description: e is irrational. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eirr	|- e e/ QQ

Proof of Theorem eirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4044	. . . . . . . 8 |- (p = if(p e. ZZ, p, 0) -> (p / q) = (if(p e. ZZ, p, 0) / q))
2	1	eqeq2d 1523	. . . . . . 7 |- (p = if(p e. ZZ, p, 0) -> (e = (p / q) <-> e = (if(p e. ZZ, p, 0) / q)))
3	2	notbid 613	. . . . . 6 |- (p = if(p e. ZZ, p, 0) -> (-. e = (p / q) <-> -. e = (if(p e. ZZ, p, 0) / q)))
4		opreq2 4045	. . . . . . . 8 |- (q = if(q e. NN, q, 1) -> (if(p e. ZZ, p, 0) / q) = (if(p e. ZZ, p, 0) / if(q e. NN, q, 1)))
5	4	eqeq2d 1523	. . . . . . 7 |- (q = if(q e. NN, q, 1) -> (e = (if(p e. ZZ, p, 0) / q) <-> e = (if(p e. ZZ, p, 0) / if(q e. NN, q, 1))))
6	5	notbid 613	. . . . . 6 |- (q = if(q e. NN, q, 1) -> (-. e = (if(p e. ZZ, p, 0) / q) <-> -. e = (if(p e. ZZ, p, 0) / if(q e. NN, q, 1))))
7		eqid 1512	. . . . . . 7 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
8		0z 6256	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
9	8	elimel 2439	. . . . . . 7 |- if(p e. ZZ, p, 0) e. ZZ
10		1nn 6021	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
11	10	elimel 2439	. . . . . . 7 |- if(q e. NN, q, 1) e. NN
12	7, 9, 11	eirrlem5 7516	. . . . . 6 |- -. e = (if(p e. ZZ, p, 0) / if(q e. NN, q, 1))
13	3, 6, 12	dedth2h 2432	. . . . 5 |- ((p e. ZZ /\ q e. NN) -> -. e = (p / q))
14	13	nrexdv 1768	. . . 4 |- (p e. ZZ -> -. E.q e. NN e = (p / q))
15	14	nrex 1767	. . 3 |- -. E.p e. ZZ E.q e. NN e = (p / q)
16		elq 6337	. . 3 |- (e e. QQ <-> E.p e. ZZ E.q e. NN e = (p / q))
17	15, 16	mtbir 190	. 2 |- -. e e. QQ
18		df-nel 1625	. 2 |- (e e/ QQ <-> -. e e. QQ)
19	17, 18	mpbir 188	1 |- e e/ QQ

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990   e/ wnel 1623  E.wrex 1684  ifcif 2406  {copab 2717  ` cfv 3237  (class class class)co 4039  0cc0 5323  1c1 5324   / cdiv 5383  NNcn 5385  NN0cn0 5386  ZZcz 5387  QQcq 5388  ^cexp 6691  !cfa 7054  eceu 7417

This theorem is referenced by:  egt2 7518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-sup 4658  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-div 5789  df-n 6012  df-2 6058  df-n0 6210  df-z 6246  df-q 6336  df-fl 6363  df-uz 6478  df-fz 6528  df-seq1 6601  df-shft 6634  df-seqz 6656  df-seq0 6657  df-exp 6692  df-sqr 6793  df-re 6874  df-im 6875  df-cj 6876  df-abs 6877  df-fac 7055  df-bc 7080  df-clim 7098  df-sum 7103  df-ef 7421  df-e 7422

Copyright terms: Public domain