Theorem eigvecval 11459

Description: The set of eigenvectors of a Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
eigvecval	|- (T:~H-->~H -> (eigvec` T) = {x e. ~H | (x =/= 0h /\ E.y e. CC (T` x) = (y .h x))})

Distinct variable group:   x,y,T

Proof of Theorem eigvecval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 10501	. . 3 |- ~H e. _V
2	1	rabex 3461	. 2 |- {x e. ~H | (x =/= 0h /\ E.y e. CC (T` x) = (y .h x))} e. _V
3		fveq1 4680	. . . . . 6 |- (t = T -> (t` x) = (T` x))
4	3	eqeq1d 1892	. . . . 5 |- (t = T -> ((t` x) = (y .h x) <-> (T` x) = (y .h x)))
5	4	rexbidv 2124	. . . 4 |- (t = T -> (E.y e. CC (t` x) = (y .h x) <-> E.y e. CC (T` x) = (y .h x)))
6	5	anbi2d 678	. . 3 |- (t = T -> ((x =/= 0h /\ E.y e. CC (t` x) = (y .h x)) <-> (x =/= 0h /\ E.y e. CC (T` x) = (y .h x))))
7	6	rabbidv 2287	. 2 |- (t = T -> {x e. ~H | (x =/= 0h /\ E.y e. CC (t` x) = (y .h x))} = {x e. ~H | (x =/= 0h /\ E.y e. CC (T` x) = (y .h x))})
8		df-eigvec 11416	. 2 |- eigvec = {<.t, z>. | (t:~H-->~H /\ z = {x e. ~H | (x =/= 0h /\ E.y e. CC (t` x) = (y .h x))})}
9	2, 1, 1, 7, 8	fvopabf4 5399	1 |- (T:~H-->~H -> (eigvec` T) = {x e. ~H | (x =/= 0h /\ E.y e. CC (T` x) = (y .h x))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   =/= wne 2017  E.wrex 2106  {crab 2108  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  ~Hchil 10420   .h csm 10422  0hc0v 10423  eigveccei 10460

This theorem is referenced by:  eleigvec 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-eigvec 11416

Copyright terms: Public domain