Theorem eigval1 11521

Description: The eigenvalue of an eigenvector of a Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
eigval1	|- ((T:~H-->~H /\ A e. (eigvec` T)) -> ((eigval` T)` A) = (((T` A) .ih A) / ((normh` A)^2)))

Proof of Theorem eigval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eigvalval 11460	. . 3 |- (T:~H-->~H -> (eigval` T) = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})
2	1	fveq1d 4683	. 2 |- (T:~H-->~H -> ((eigval` T)` A) = ({<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))}` A))
3		fveq2 4681	. . . . 5 |- (x = A -> (T` x) = (T` A))
4		id 73	. . . . 5 |- (x = A -> x = A)
5	3, 4	opreq12d 4900	. . . 4 |- (x = A -> ((T` x) .ih x) = ((T` A) .ih A))
6		fveq2 4681	. . . . 5 |- (x = A -> (normh` x) = (normh` A))
7	6	opreq1d 4897	. . . 4 |- (x = A -> ((normh` x)^2) = ((normh` A)^2))
8	5, 7	opreq12d 4900	. . 3 |- (x = A -> (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)) = (((T` A) .ih A) / ((normh` A)^2)))
9		eqid 1884	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))} = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))}
10		oprex 4907	. . 3 |- (((T` A) .ih A) / ((normh` A)^2)) e. _V
11	8, 9, 10	fvopab4 4743	. 2 |- (A e. (eigvec` T) -> ({<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))}` A) = (((T` A) .ih A) / ((normh` A)^2)))
12	2, 11	sylan9eq 1948	1 |- ((T:~H-->~H /\ A e. (eigvec` T)) -> ((eigval` T)` A) = (((T` A) .ih A) / ((normh` A)^2)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   / cdiv 6447  2c2 7145  ^cexp 7811  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  normhcno 10426  eigveccei 10460  eigvalcel 10461

This theorem is referenced by:  eigvalcl 11522  eigvec1 11523

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-eigval 11417

Copyright terms: Public domain