Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigposi Structured version   Unicode version

Theorem eigposi 27181
 Description: A sufficient condition (first conjunct pair, that holds when is a positive operator) for an eigenvalue (second conjunct pair) to be nonnegative. Remark (ii) in [Hughes] p. 137. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigpos.1
eigpos.2
Assertion
Ref Expression
eigposi

Proof of Theorem eigposi
StepHypRef Expression
1 oveq2 6288 . . . . . . . 8
21eleq1d 2473 . . . . . . 7
3 oveq1 6287 . . . . . . . . 9
41, 3eqeq12d 2426 . . . . . . . 8
5 eigpos.1 . . . . . . . . 9
6 eigpos.2 . . . . . . . . . 10
76, 5hvmulcli 26358 . . . . . . . . 9
8 hire 26438 . . . . . . . . 9
95, 7, 8mp2an 672 . . . . . . . 8
104, 9syl6rbbr 266 . . . . . . 7
112, 10bitrd 255 . . . . . 6
1211adantr 465 . . . . 5
135, 6eigrei 27179 . . . . 5
1412, 13bitrd 255 . . . 4
1514biimpac 486 . . 3
17 ax-his4 26429 . . . . 5
185, 17mpan 670 . . . 4
20 simplr 756 . . . 4
211ad2antrl 728 . . . . 5
22 his5 26430 . . . . . . 7
236, 5, 5, 22mp3an 1328 . . . . . 6
2416cjred 13210 . . . . . . 7
2524oveq1d 6295 . . . . . 6
2623, 25syl5eq 2457 . . . . 5
2721, 26eqtrd 2445 . . . 4
2820, 27breqtrd 4421 . . 3
29 hiidrcl 26439 . . . . 5
305, 29ax-mp 5 . . . 4
31 prodge02 10433 . . . 4
3230, 31mpanl2 681 . . 3
3316, 19, 28, 32syl12anc 1230 . 2
3416, 33jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   wceq 1407   wcel 1844   wne 2600   class class class wbr 4397  cfv 5571  (class class class)co 6280  cc 9522  cr 9523  cc0 9524   cmul 9529   clt 9660   cle 9661  ccj 13080  chil 26263   csm 26265   csp 26266  c0v 26268 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-hfvmul 26349  ax-hfi 26423  ax-his1 26426  ax-his3 26428  ax-his4 26429 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-2 10637  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator