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Theorem eigorth 26588
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when  T is a Hermitian operator) for two eigenvectors 
A and  B to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigorth  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  /\  ( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )

Proof of Theorem eigorth
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( T `  A )  =  ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
2 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( C  .h  A )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
31, 2eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  =  ( C  .h  A )  <->  ( T `  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
43anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  <->  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) ) ) )
54anbi1d 704 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) ) ) )
6 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B )
) )
71oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( T `  A
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  B ) )
86, 7eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )
) )
9 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
) )
109eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  B
)  =  0  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) )
118, 10bibi12d 321 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) ) )
125, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) ) ) )
13 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( T `  B )  =  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
14 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( D  .h  B )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
1513, 14eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  B
)  =  ( D  .h  B )  <->  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
1615anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
1716anbi1d 704 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
) ) )
1813oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `
 if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) ) )
19 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2018, 19eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `
 if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
21 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2221eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
)  =  0  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )
2320, 22bibi12d 321 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 )  <->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) )
2417, 23imbi12d 320 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D ) )  -> 
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  B
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  B )  <->  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  0 ) )  <-> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  ->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
25 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) )
2625eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  <->  ( T `  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) )
2726anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  /\  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) ) )
28 neeq1 2748 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( C  =/=  (
* `  D )  <->  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D ) ) )
2927, 28anbi12d 710 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  <->  ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) ) ) )
3029imbi1d 317 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( C  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  C  =/=  (
* `  D )
)  ->  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  =  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
31 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )
3231eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  <->  ( T `  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  ( if ( D  e.  CC ,  D , 
0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) ) )
3332anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )  <->  ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) )  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
34 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( * `  D
)  =  ( * `
 if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )
3534neeq2d 2745 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
)  <->  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  =/=  (
* `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ) )
3633, 35anbi12d 710 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  <->  ( (
( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ) ) )
3736imbi1d 317 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( D  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )  <->  ( (
( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) ) ) )
38 ifhvhv0 25770 . . . 4  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
39 ifhvhv0 25770 . . . 4  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
40 0cn 9600 . . . . 5  |-  0  e.  CC
4140elimel 4008 . . . 4  |-  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  e.  CC
4240elimel 4008 . . . 4  |-  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  e.  CC
4338, 39, 41, 42eigorthi 26587 . . 3  |-  ( ( ( ( T `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  .h  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  /\  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  =  ( if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  .h  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  /\  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  =/=  ( * `  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  ( T `  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) ) )  =  ( ( T `
 if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
)  <->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  =  0 ) )
4412, 24, 30, 37, 43dedth4h 4000 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( T `  A )  =  ( C  .h  A )  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) )  ->  (
( A  .ih  ( T `  B )
)  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) ) )
4544imp 429 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  /\  ( ( ( T `
 A )  =  ( C  .h  A
)  /\  ( T `  B )  =  ( D  .h  B ) )  /\  C  =/=  ( * `  D
) ) )  -> 
( ( A  .ih  ( T `  B ) )  =  ( ( T `  A ) 
.ih  B )  <->  ( A  .ih  B )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ifcif 3945   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   *ccj 12908   ~Hchil 25667    .h csm 25669    .ih csp 25670   0hc0v 25672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-hv0cl 25751  ax-hfvmul 25753  ax-hfi 25827  ax-his1 25830  ax-his3 25832
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-2 10606  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913
This theorem is referenced by:  eighmorth  26714
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