Theorem ehm 15140

Description: The elements of a homset are morphisms. JFM CAT₁ th. 21.

Hypotheses

Ref	Expression
ehm.1	|- O = dom (id` T)
ehm.2	|- M = dom (dom` T)
ehm.5	|- H = ( hom ` T)

Assertion

Ref	Expression
ehm	|- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> F e. M))

Proof of Theorem ehm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehm.1	. . . . 5 |- O = dom (id` T)
2		ehm.2	. . . . 5 |- M = dom (dom` T)
3		eqid 1884	. . . . 5 |- (dom` T) = (dom` T)
4		eqid 1884	. . . . 5 |- (cod` T) = (cod` T)
5		ehm.5	. . . . 5 |- H = ( hom ` T)
6	1, 2, 3, 4, 5	ishomd 15139	. . . 4 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) <-> (F e. M /\ ((dom` T)` F) = A /\ ((cod` T)` F) = B)))
7	6	biimpa 460	. . 3 |- (((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> (F e. M /\ ((dom` T)` F) = A /\ ((cod` T)` F) = B))
8	7	simp1d 888	. 2 |- (((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) /\ F e. (H` <.A, B>.)) -> F e. M)
9	8	ex 402	1 |- ((T e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (F e. (H` <.A, B>.) -> F e. M))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046  dom cdm 3986  ` cfv 3998  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061   Cat ccat 15099   hom chom 15134

This theorem is referenced by:  cmphmia 15147  cmphmib 15148  cmpassoh 15150  homgrf 15151  imonclem 15162  idmon 15166  iepiclem 15172

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-alg 15063  df-ded 15082  df-cat 15100  df-hom 15135

Copyright terms: Public domain