MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  egt2lt3 Structured version   Unicode version

Theorem egt2lt3 13811
Description: Euler's constant  _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
egt2lt3  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )

Proof of Theorem egt2lt3
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )
2 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
31, 2ege2le3 13698 . . . 4  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
43simpli 458 . . 3  |-  2  <_  _e
5 eirr 13810 . . . . . 6  |-  _e  e/  QQ
65neli 2776 . . . . 5  |-  -.  _e  e.  QQ
7 nnq 11199 . . . . 5  |-  ( _e  e.  NN  ->  _e  e.  QQ )
86, 7mto 176 . . . 4  |-  -.  _e  e.  NN
9 2nn 10694 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
10 eleq1 2513 . . . . . 6  |-  ( _e  =  2  ->  (
_e  e.  NN  <->  2  e.  NN ) )
119, 10mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( _e  =  2  ->  _e  e.  NN )
1211necon3bi 2670 . . . 4  |-  ( -.  _e  e.  NN  ->  _e  =/=  2 )
138, 12ax-mp 5 . . 3  |-  _e  =/=  2
14 2re 10606 . . . 4  |-  2  e.  RR
15 ere 13697 . . . 4  |-  _e  e.  RR
1614, 15ltleni 9700 . . 3  |-  ( 2  <  _e  <->  ( 2  <_  _e  /\  _e  =/=  2 ) )
174, 13, 16mpbir2an 918 . 2  |-  2  <  _e
183simpri 462 . . 3  |-  _e  <_  3
19 3nn 10695 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
20 eleq1 2513 . . . . . 6  |-  ( 3  =  _e  ->  (
3  e.  NN  <->  _e  e.  NN ) )
2119, 20mpbii 211 . . . . 5  |-  ( 3  =  _e  ->  _e  e.  NN )
2221necon3bi 2670 . . . 4  |-  ( -.  _e  e.  NN  ->  3  =/=  _e )
238, 22ax-mp 5 . . 3  |-  3  =/=  _e
24 3re 10610 . . . 4  |-  3  e.  RR
2515, 24ltleni 9700 . . 3  |-  ( _e 
<  3  <->  ( _e  <_  3  /\  3  =/= 
_e ) )
2618, 23, 25mpbir2an 918 . 2  |-  _e  <  3
2717, 26pm3.2i 455 1  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   1c1 9491    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   3c3 10587   NN0cn0 10796   QQcq 11186   ^cexp 12140   !cfa 12327   _eceu 13671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-ico 11539  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-e 13677
This theorem is referenced by:  epos  13812  cxploglim2  23173  emgt0  23201  harmonicbnd3  23202  bposlem7  23430  bposlem9  23432  chebbnd1lem2  23520  chebbnd1lem3  23521  chebbnd1  23522  dchrvmasumlema  23550  mulog2sumlem2  23585  pntpbnd1a  23635  pntpbnd2  23637  pntlemb  23647  pntlemk  23656  subfacval3  28499  ene1  32878
  Copyright terms: Public domain W3C validator