MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  egt2lt3 Structured version   Unicode version

Theorem egt2lt3 13470
Description: Euler's constant  _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
egt2lt3  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )

Proof of Theorem egt2lt3
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )
2 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
31, 2ege2le3 13357 . . . 4  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
43simpli 455 . . 3  |-  2  <_  _e
5 eirr 13469 . . . . . 6  |-  _e  e/  QQ
65neli 2697 . . . . 5  |-  -.  _e  e.  QQ
7 nnq 10953 . . . . 5  |-  ( _e  e.  NN  ->  _e  e.  QQ )
86, 7mto 176 . . . 4  |-  -.  _e  e.  NN
9 2nn 10466 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
10 eleq1 2493 . . . . . 6  |-  ( _e  =  2  ->  (
_e  e.  NN  <->  2  e.  NN ) )
119, 10mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( _e  =  2  ->  _e  e.  NN )
1211necon3bi 2642 . . . 4  |-  ( -.  _e  e.  NN  ->  _e  =/=  2 )
138, 12ax-mp 5 . . 3  |-  _e  =/=  2
14 2re 10378 . . . 4  |-  2  e.  RR
15 ere 13356 . . . 4  |-  _e  e.  RR
1614, 15ltleni 9479 . . 3  |-  ( 2  <  _e  <->  ( 2  <_  _e  /\  _e  =/=  2 ) )
174, 13, 16mpbir2an 904 . 2  |-  2  <  _e
183simpri 459 . . 3  |-  _e  <_  3
19 3nn 10467 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
20 eleq1 2493 . . . . . 6  |-  ( 3  =  _e  ->  (
3  e.  NN  <->  _e  e.  NN ) )
2119, 20mpbii 211 . . . . 5  |-  ( 3  =  _e  ->  _e  e.  NN )
2221necon3bi 2642 . . . 4  |-  ( -.  _e  e.  NN  ->  3  =/=  _e )
238, 22ax-mp 5 . . 3  |-  3  =/=  _e
24 3re 10382 . . . 4  |-  3  e.  RR
2515, 24ltleni 9479 . . 3  |-  ( _e 
<  3  <->  ( _e  <_  3  /\  3  =/= 
_e ) )
2618, 23, 25mpbir2an 904 . 2  |-  _e  <  3
2717, 26pm3.2i 452 1  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1c1 9270    x. cmul 9274    < clt 9405    <_ cle 9406    / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   3c3 10359   NN0cn0 10566   QQcq 10940   ^cexp 11848   !cfa 12034   _eceu 13330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-ico 11293  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-e 13336
This theorem is referenced by:  epos  13471  cxploglim2  22256  emgt0  22284  harmonicbnd3  22285  bposlem7  22513  bposlem9  22515  chebbnd1lem2  22603  chebbnd1lem3  22604  chebbnd1  22605  dchrvmasumlema  22633  mulog2sumlem2  22668  pntpbnd1a  22718  pntpbnd2  22720  pntlemb  22730  pntlemk  22739  subfacval3  26924  ene1  30815
  Copyright terms: Public domain W3C validator