MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  egt2lt3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem egt2lt3 14306
Description: Euler's constant  _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
egt2lt3  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )

Proof of Theorem egt2lt3
StepHypRef Expression
1 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )
2 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
31, 2ege2le3 14192 . . . 4  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
43simpli 464 . . 3  |-  2  <_  _e
5 eirr 14305 . . . . . 6  |-  _e  e/  QQ
65neli 2737 . . . . 5  |-  -.  _e  e.  QQ
7 nnq 11305 . . . . 5  |-  ( _e  e.  NN  ->  _e  e.  QQ )
86, 7mto 181 . . . 4  |-  -.  _e  e.  NN
9 2nn 10795 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
10 eleq1 2527 . . . . . 6  |-  ( _e  =  2  ->  (
_e  e.  NN  <->  2  e.  NN ) )
119, 10mpbiri 241 . . . . 5  |-  ( _e  =  2  ->  _e  e.  NN )
1211necon3bi 2661 . . . 4  |-  ( -.  _e  e.  NN  ->  _e  =/=  2 )
138, 12ax-mp 5 . . 3  |-  _e  =/=  2
14 2re 10706 . . . 4  |-  2  e.  RR
15 ere 14191 . . . 4  |-  _e  e.  RR
1614, 15ltleni 9777 . . 3  |-  ( 2  <  _e  <->  ( 2  <_  _e  /\  _e  =/=  2 ) )
174, 13, 16mpbir2an 936 . 2  |-  2  <  _e
183simpri 468 . . 3  |-  _e  <_  3
19 3nn 10796 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
20 eleq1 2527 . . . . . 6  |-  ( 3  =  _e  ->  (
3  e.  NN  <->  _e  e.  NN ) )
2119, 20mpbii 216 . . . . 5  |-  ( 3  =  _e  ->  _e  e.  NN )
2221necon3bi 2661 . . . 4  |-  ( -.  _e  e.  NN  ->  3  =/=  _e )
238, 22ax-mp 5 . . 3  |-  3  =/=  _e
24 3re 10710 . . . 4  |-  3  e.  RR
2515, 24ltleni 9777 . . 3  |-  ( _e 
<  3  <->  ( _e  <_  3  /\  3  =/= 
_e ) )
2618, 23, 25mpbir2an 936 . 2  |-  _e  <  3
2717, 26pm3.2i 461 1  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   1c1 9565    x. cmul 9569    < clt 9700    <_ cle 9701    / cdiv 10296   NNcn 10636   2c2 10686   3c3 10687   NN0cn0 10897   QQcq 11292   ^cexp 12303   !cfa 12490   _eceu 14163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-ico 11669  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-fac 12491  df-bc 12519  df-hash 12547  df-shft 13178  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-ef 14169  df-e 14170
This theorem is referenced by:  epos  14307  ene1  14310  logblog  23777  cxploglim2  23952  emgt0  23980  harmonicbnd3  23981  bposlem7  24266  bposlem9  24268  chebbnd1lem2  24356  chebbnd1lem3  24357  chebbnd1  24358  dchrvmasumlema  24386  mulog2sumlem2  24421  pntpbnd1a  24471  pntpbnd2  24473  pntlemb  24483  pntlemk  24492  subfacval3  29960  etransclem23  38159
  Copyright terms: Public domain W3C validator