MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  egt2lt3 Structured version   Unicode version

Theorem egt2lt3 13592
Description: Euler's constant  _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
egt2lt3  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )

Proof of Theorem egt2lt3
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
31, 2ege2le3 13479 . . . 4  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
43simpli 458 . . 3  |-  2  <_  _e
5 eirr 13591 . . . . . 6  |-  _e  e/  QQ
65neli 2783 . . . . 5  |-  -.  _e  e.  QQ
7 nnq 11069 . . . . 5  |-  ( _e  e.  NN  ->  _e  e.  QQ )
86, 7mto 176 . . . 4  |-  -.  _e  e.  NN
9 2nn 10582 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
10 eleq1 2523 . . . . . 6  |-  ( _e  =  2  ->  (
_e  e.  NN  <->  2  e.  NN ) )
119, 10mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( _e  =  2  ->  _e  e.  NN )
1211necon3bi 2677 . . . 4  |-  ( -.  _e  e.  NN  ->  _e  =/=  2 )
138, 12ax-mp 5 . . 3  |-  _e  =/=  2
14 2re 10494 . . . 4  |-  2  e.  RR
15 ere 13478 . . . 4  |-  _e  e.  RR
1614, 15ltleni 9595 . . 3  |-  ( 2  <  _e  <->  ( 2  <_  _e  /\  _e  =/=  2 ) )
174, 13, 16mpbir2an 911 . 2  |-  2  <  _e
183simpri 462 . . 3  |-  _e  <_  3
19 3nn 10583 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
20 eleq1 2523 . . . . . 6  |-  ( 3  =  _e  ->  (
3  e.  NN  <->  _e  e.  NN ) )
2119, 20mpbii 211 . . . . 5  |-  ( 3  =  _e  ->  _e  e.  NN )
2221necon3bi 2677 . . . 4  |-  ( -.  _e  e.  NN  ->  3  =/=  _e )
238, 22ax-mp 5 . . 3  |-  3  =/=  _e
24 3re 10498 . . . 4  |-  3  e.  RR
2515, 24ltleni 9595 . . 3  |-  ( _e 
<  3  <->  ( _e  <_  3  /\  3  =/= 
_e ) )
2618, 23, 25mpbir2an 911 . 2  |-  _e  <  3
2717, 26pm3.2i 455 1  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1c1 9386    x. cmul 9390    < clt 9521    <_ cle 9522    / cdiv 10096   NNcn 10425   2c2 10474   3c3 10475   NN0cn0 10682   QQcq 11056   ^cexp 11968   !cfa 12154   _eceu 13452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-ico 11409  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-ef 13457  df-e 13458
This theorem is referenced by:  epos  13593  cxploglim2  22490  emgt0  22518  harmonicbnd3  22519  bposlem7  22747  bposlem9  22749  chebbnd1lem2  22837  chebbnd1lem3  22838  chebbnd1  22839  dchrvmasumlema  22867  mulog2sumlem2  22902  pntpbnd1a  22952  pntpbnd2  22954  pntlemb  22964  pntlemk  22973  subfacval3  27213  ene1  31407
  Copyright terms: Public domain W3C validator