Theorem ege2le3lem2 7452

Description: Lemma for ege2le3 7457.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
ege2le3lem2	|- (2 <_ e /\ e <_ 3)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem ege2le3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addex 5406	. . . . . . 7 |- + e. V
2		nnex 6020	. . . . . . . 8 |- NN e. V
3		erelem1.2	. . . . . . . 8 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}
4	2, 3	fopabex2 3687	. . . . . . 7 |- G e. V
5	1, 4	seq11 6610	. . . . . 6 |- (( + seq1 G)` 1) = (G` 1)
6		1nn 6021	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
7		fveq2 3800	. . . . . . . . . 10 |- (x = 1 -> (!` x) = (!` 1))
8	7	opreq2d 4052	. . . . . . . . 9 |- (x = 1 -> (1 / (!` x)) = (1 / (!` 1)))
9		oprex 4059	. . . . . . . . 9 |- (1 / (!` 1)) e. V
10	8, 3, 9	fvopab4 3856	. . . . . . . 8 |- (1 e. NN -> (G` 1) = (1 / (!` 1)))
11	6, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (G` 1) = (1 / (!` 1))
12		fac1 7058	. . . . . . . 8 |- (!` 1) = 1
13	12	opreq2i 4048	. . . . . . 7 |- (1 / (!` 1)) = (1 / 1)
14		ax1cn 5358	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
15	14	div1i 5851	. . . . . . 7 |- (1 / 1) = 1
16	11, 13, 15	3eqtri 1536	. . . . . 6 |- (G` 1) = 1
17	5, 16	eqtr2i 1533	. . . . 5 |- 1 = (( + seq1 G)` 1)
18		erelem1.1	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
19	18, 3	ege2le3lem1 7450	. . . . 5 |- (( + seq1 G)` 1) <_ sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
20	17, 19	eqbrtri 2684	. . . 4 |- 1 <_ sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
21		1re 5524	. . . . 5 |- 1 e. RR
22	18, 3	erelem5 7446	. . . . 5 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. RR
23	21, 22, 21	leadd2i 5682	. . . 4 |- (1 <_ sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <-> (1 + 1) <_ (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )))
24	20, 23	mpbi 187	. . 3 |- (1 + 1) <_ (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
25		df-2 6058	. . 3 |- 2 = (1 + 1)
26	18, 3	erelem6 7447	. . 3 |- e = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
27	24, 25, 26	3brtr4i 2693	. 2 |- 2 <_ e
28		2re 6067	. . . . . 6 |- 2 e. RR
29	28	elisseti 1856	. . . . 5 |- 2 e. V
30	18, 3	erelem1 7442	. . . . . 6 |- (F:NN-->RR /\ G:NN-->RR)
31	30	pm3.26i 318	. . . . 5 |- F:NN-->RR
32	30	pm3.27i 322	. . . . 5 |- G:NN-->RR
33	18, 3	erelem3 7444	. . . . 5 |- (z e. NN -> (0 <_ (G` z) /\ (G` z) <_ (F` z)))
34	18, 3	erelem2 7443	. . . . 5 |- ( + seq1 F) ~~> 2
35		ltso 5601	. . . . . 6 |- < Or RR
36	35	supex 4661	. . . . 5 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. V
37	18, 3	erelem4 7445	. . . . 5 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
38	29, 31, 32, 33, 34, 36, 37	cvgcmpubi 7308	. . . 4 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ 2
39	22, 28, 21	leadd2i 5682	. . . 4 |- (sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) <_ 2 <-> (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )) <_ (1 + 2))
40	38, 39	mpbi 187	. . 3 |- (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < )) <_ (1 + 2)
41		df-3 6059	. . . 4 |- 3 = (2 + 1)
42		2cn 6068	. . . . 5 |- 2 e. CC
43	42, 14	addcomi 5411	. . . 4 |- (2 + 1) = (1 + 2)
44	41, 43	eqtri 1532	. . 3 |- 3 = (1 + 2)
45	40, 26, 44	3brtr4i 2693	. 2 |- e <_ 3
46	27, 45	pm3.2i 283	1 |- (2 <_ e /\ e <_ 3)

Syntax hints:   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990   class class class wbr 2669  {copab 2717  ran crn 3226  -->wf 3233  ` cfv 3237  (class class class)co 4039  supcsup 4657  RRcr 5322  1c1 5324   + caddc 5326   x. cmul 5328   / cdiv 5383   <_ cle 5384  NNcn 5385   < clt 5575  2c2 6049  3c3 6050   seq1 cseq1 6600  ^cexp 6691  !cfa 7054  eceu 7417

This theorem is referenced by:  ege2le3 7457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-sup 4658  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-div 5789  df-n 6012  df-2 6058  df-3 6059  df-4 6060  df-n0 6210  df-z 6246  df-fl 6363  df-uz 6478  df-fz 6528  df-seq1 6601  df-shft 6634  df-seqz 6656  df-seq0 6657  df-exp 6692  df-sqr 6793  df-re 6874  df-im 6875  df-cj 6876  df-abs 6877  df-fac 7055  df-clim 7098  df-sum 7103  df-ef 7421  df-e 7422

Copyright terms: Public domain