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Theorem ege2le3 12647
Description: Lemma for egt2lt3 12760. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
erelem1.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
ege2le3  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10476 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0nn0 10192 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
3 1e0p1 10366 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4 0z 10249 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
5 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
0 ) )
6 fac0 11524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ! `
 0 )  =  1
75, 6syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  1 )
87oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
9 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
109div1i 9698 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
118, 10syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
12 erelem1.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
13 1ex 9042 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5765 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( G `
 0 )  =  1 )
152, 14mp1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( G `  0
)  =  1 )
164, 15seq1i 11292 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  1 )
17 1nn0 10193 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
18 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
1 ) )
19 fac1 11525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2018, 19syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  1 )
2120oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
2221, 10syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
2322, 12, 13fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( G `
 1 )  =  1 )
2417, 23mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( G `  1
)  =  1 )
251, 2, 3, 16, 24seqp1i 11294 . . . . 5  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
26 df-2 10014 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2725, 26syl6eqr 2454 . . . 4  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  2 )
2817a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  NN0 )
29 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
30 1exp 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
3231oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
3332mpteq2ia 4251 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
3412, 33eqtr4i 2427 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
3534efcvg 12642 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq  0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
369, 35mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
37 df-e 12626 . . . . . 6  |-  _e  =  ( exp `  1 )
3836, 37syl6breqr 4212 . . . . 5  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  G )  ~~>  _e )
39 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
4039oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
41 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e. 
_V
4240, 12, 41fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
4342adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
44 faccl 11531 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4544adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4645nnrecred 10001 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
4743, 46eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4845nnred 9971 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
4945nngt0d 9999 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <  ( ! `  k
) )
50 1re 9046 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
51 0le1 9507 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
52 divge0 9835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( ! `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
( ! `  k
) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5350, 51, 52mpanl12 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5448, 49, 53syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
5554, 43breqtrrd 4198 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
561, 28, 38, 47, 55climserle 12411 . . . 4  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  1 )  <_  _e )
5727, 56eqbrtrrd 4194 . . 3  |-  (  T. 
->  2  <_  _e )
5857trud 1329 . 2  |-  2  <_  _e
59 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
622a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  0  e.  NN0 )
6347recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
641, 62, 63, 38clim2ser 12403 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  0 )
) )
65 0p1e1 10049 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
66 seqeq1 11281 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  =  seq  1 (  +  ,  G ) )
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  G
)  =  seq  1
(  +  ,  G
)
6816trud 1329 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  0
)  =  1
6968oveq2i 6051 . . . . . . 7  |-  ( _e 
-  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  0 )
)  =  ( _e 
-  1 )
7064, 67, 693brtr3g 4203 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  1 ) )
71 2cn 10026 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
7271a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
73 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
74 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
75 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  e. 
_V
7673, 74, 75fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
7776adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
78 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
79 nnrecre 9992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
8078, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
81 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
82 reexpcl 11353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )
8380, 81, 82sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
8483recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  CC )
8577, 84eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
86 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
87 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
88 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
89 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
9088, 87, 89ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
91 absid 12056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
9287, 90, 91mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  2 )  =  2
9386, 92breqtrri 4197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  ( abs `  2
)
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  1  <  ( abs `  2 ) )
9572, 94, 77georeclim 12604 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  /  (
2  -  1 ) ) )
96 2m1e1 10051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
9796oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  /  1
)
9871div1i 9698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
9997, 98eqtri 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  2
10095, 99syl6breq 4211 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  2 )
1011, 62, 85, 100clim2ser 12403 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  -  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 ) ) )
102 seqeq1 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) )
10365, 102ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )  =  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )
104 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
105 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  e. 
_V
106104, 74, 105fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 ) )
1072, 106ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )
108 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
10971, 108reccli 9700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
110 exp0 11341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
111109, 110ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
112107, 111eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  1
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ` 
0 )  =  1 )
1144, 113seq1i 11292 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  1 )
115114trud 1329 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 )  =  1
116115oveq2i 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  ( 2  -  1 )
117116, 96eqtri 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  1
118101, 103, 1173brtr3g 4203 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  1 )
119 nnnn0 10184 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
120119, 85sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
12173oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
122 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
123 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  e. 
_V
124121, 122, 123fvmpt 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
125124adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
126119, 77sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
127126oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
128125, 127eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) `  k ) ) )
12959, 61, 72, 118, 120, 128isermulc2 12406 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 2  x.  1 ) )
13071mulid1i 9048 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
131129, 130syl6breq 4211 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  2 )
132119, 47sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
133 remulcl 9031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  e.  RR )
13487, 83, 133sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
135119, 134sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
136125, 135eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
137 faclbnd2 11537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ k )  /  2 )  <_ 
( ! `  k
) )
138137adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  <_  ( ! `  k ) )
139 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
14078, 81, 139sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
141140nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
142141rphalfcld 10616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  e.  RR+ )
14345nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
144142, 143lerecd 10623 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( 2 ^ k )  /  2
)  <_  ( ! `  k )  <->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  <_ 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) ) ) )
145138, 144mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
14671a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  e.  CC )
147140nncnd 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
148140nnne0d 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  =/=  0 )
149146, 147, 148divrecd 9749 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
150 recdiv 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2 ^ k )  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
15171, 108, 150mpanr12 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
152147, 148, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ( 2 ^ k )  /  2 ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ k
) ) )
153108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  =/=  0 )
154 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
155154adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
156146, 153, 155exprecd 11486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
157156oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
158149, 152, 1573eqtr4rd 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
159145, 158breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
160119, 159sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
161119, 43sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
162160, 161, 1253brtr4d 4202 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
16359, 61, 70, 131, 132, 136, 162iserle 12408 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( _e  -  1 )  <_  2 )
164163trud 1329 . . . 4  |-  ( _e 
-  1 )  <_ 
2
165 ere 12646 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
166165, 50, 87lesubaddi 9541 . . . 4  |-  ( ( _e  -  1 )  <_  2  <->  _e  <_  ( 2  +  1 ) )
167164, 166mpbi 200 . . 3  |-  _e  <_  ( 2  +  1 )
168 df-3 10015 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
169167, 168breqtrri 4197 . 2  |-  _e  <_  3
17058, 169pm3.2i 442 1  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238    seq cseq 11278   ^cexp 11337   !cfa 11521   abscabs 11994    ~~> cli 12233   expce 12619   _eceu 12620
This theorem is referenced by:  egt2lt3  12760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626
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