MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ege2le3 Structured version   Unicode version

Theorem ege2le3 13375
Description: Lemma for egt2lt3 13488. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
erelem1.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
ege2le3  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10895 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0nn0 10594 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
3 1e0p1 10783 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4 0z 10657 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
5 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
0 ) )
6 fac0 12054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ! `
 0 )  =  1
75, 6syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  1 )
87oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
9 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
109div1i 10059 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
118, 10syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
12 erelem1.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
13 1ex 9381 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5774 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( G `
 0 )  =  1 )
152, 14mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( G `  0
)  =  1 )
164, 15seq1i 11820 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  1 )
17 1nn0 10595 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
18 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
1 ) )
19 fac1 12055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2018, 19syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  1 )
2120oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
2221, 10syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
2322, 12, 13fvmpt 5774 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( G `
 1 )  =  1 )
2417, 23mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( G `  1
)  =  1 )
251, 2, 3, 16, 24seqp1i 11822 . . . . 5  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
26 df-2 10380 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2725, 26syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  2 )
2817a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  NN0 )
29 nn0z 10669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
30 1exp 11893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
3231oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
3332mpteq2ia 4374 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
3412, 33eqtr4i 2466 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
3534efcvg 13370 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
369, 35mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
37 df-e 13354 . . . . . 6  |-  _e  =  ( exp `  1 )
3836, 37syl6breqr 4332 . . . . 5  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  _e )
39 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
4039oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
41 ovex 6116 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e. 
_V
4240, 12, 41fvmpt 5774 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
4342adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
44 faccl 12061 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4544adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4645nnrecred 10367 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
4743, 46eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4845nnred 10337 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
4945nngt0d 10365 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <  ( ! `  k
) )
50 1re 9385 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
51 0le1 9863 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
52 divge0 10198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( ! `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
( ! `  k
) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5350, 51, 52mpanl12 682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5448, 49, 53syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
5554, 43breqtrrd 4318 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
561, 28, 38, 47, 55climserle 13140 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  <_  _e )
5727, 56eqbrtrrd 4314 . . 3  |-  ( T. 
->  2  <_  _e )
5857trud 1378 . 2  |-  2  <_  _e
59 nnuz 10896 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1zzd 10677 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
612a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  0  e.  NN0 )
6247recnd 9412 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
631, 61, 62, 38clim2ser 13132 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
) )
64 0p1e1 10433 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
65 seqeq1 11809 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  G ) )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  G
)
6716trud 1378 . . . . . . . 8  |-  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
)  =  1
6867oveq2i 6102 . . . . . . 7  |-  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
)  =  ( _e 
-  1 )
6963, 66, 683brtr3g 4323 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  1 ) )
70 2cnd 10394 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
71 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
72 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
73 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  e. 
_V
7471, 72, 73fvmpt 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
76 halfre 10540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
78 reexpcl 11882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )
7976, 77, 78sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
8079recnd 9412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  CC )
8175, 80eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
82 1lt2 10488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
83 2re 10391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
84 0le2 10412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
85 absid 12785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
8683, 84, 85mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  2 )  =  2
8782, 86breqtrri 4317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  ( abs `  2
)
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  1  <  ( abs `  2 ) )
8970, 88, 75georeclim 13332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  /  (
2  -  1 ) ) )
90 2m1e1 10436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
9190oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  /  1
)
92 2cn 10392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
9392div1i 10059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
9491, 93eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  2
9589, 94syl6breq 4331 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  2 )
961, 61, 81, 95clim2ser 13132 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  -  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 ) ) )
97 seqeq1 11809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) )
9864, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )
99 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
100 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  e. 
_V
10199, 72, 100fvmpt 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 ) )
1022, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )
103 halfcn 10541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
104 exp0 11869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
106102, 105eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ` 
0 )  =  1 )
1084, 107seq1i 11820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  1 )
109108trud 1378 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 )  =  1
110109oveq2i 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  ( 2  -  1 )
111110, 90eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  1
11296, 98, 1113brtr3g 4323 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  1 )
113 nnnn0 10586 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
114113, 81sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
11571oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
116 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
117 ovex 6116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  e. 
_V
118115, 116, 117fvmpt 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
119118adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
120113, 75sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
121120oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
122119, 121eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) `  k ) ) )
12359, 60, 70, 112, 114, 122isermulc2 13135 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 2  x.  1 ) )
124 2t1e2 10470 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
125123, 124syl6breq 4331 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  2 )
126113, 47sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
127 remulcl 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  e.  RR )
12883, 79, 127sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
129113, 128sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
130119, 129eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
131 faclbnd2 12067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ k )  /  2 )  <_ 
( ! `  k
) )
132131adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  <_  ( ! `  k ) )
133 2nn 10479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
134 nnexpcl 11878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
135133, 77, 134sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
136135nnrpd 11026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
137136rphalfcld 11039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  e.  RR+ )
13845nnrpd 11026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
139137, 138lerecd 11046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( 2 ^ k )  /  2
)  <_  ( ! `  k )  <->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  <_ 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) ) ) )
140132, 139mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
141 2cnd 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  e.  CC )
142135nncnd 10338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
143135nnne0d 10366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  =/=  0 )
144141, 142, 143divrecd 10110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
145 2ne0 10414 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
146 recdiv 10037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2 ^ k )  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
14792, 145, 146mpanr12 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
148142, 143, 147syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ( 2 ^ k )  /  2 ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ k
) ) )
149145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  =/=  0 )
150 nn0z 10669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
151150adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
152141, 149, 151exprecd 12016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
153152oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
154144, 148, 1533eqtr4rd 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
155140, 154breqtrrd 4318 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
156113, 155sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
157113, 43sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
158156, 157, 1193brtr4d 4322 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
15959, 60, 69, 125, 126, 130, 158iserle 13137 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( _e  -  1 )  <_  2 )
160159trud 1378 . . . 4  |-  ( _e 
-  1 )  <_ 
2
161 ere 13374 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
162161, 50, 83lesubaddi 9898 . . . 4  |-  ( ( _e  -  1 )  <_  2  <->  _e  <_  ( 2  +  1 ) )
163160, 162mpbi 208 . . 3  |-  _e  <_  ( 2  +  1 )
164 df-3 10381 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
165163, 164breqtrri 4317 . 2  |-  _e  <_  3
16658, 165pm3.2i 455 1  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2606   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   3c3 10372   NN0cn0 10579   ZZcz 10646    seqcseq 11806   ^cexp 11865   !cfa 12051   abscabs 12723    ~~> cli 12962   expce 13347   _eceu 13348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-ico 11306  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-e 13354
This theorem is referenced by:  egt2lt3  13488
  Copyright terms: Public domain W3C validator