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Theorem ege2le3 13687
Description: Lemma for egt2lt3 13800. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
erelem1.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
ege2le3  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11116 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0nn0 10810 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
3 1e0p1 11004 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4 0z 10875 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
5 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
0 ) )
6 fac0 12324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ! `
 0 )  =  1
75, 6syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  1 )
87oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
9 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
109div1i 10272 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
118, 10syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
12 erelem1.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
13 1ex 9591 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5950 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( G `
 0 )  =  1 )
152, 14mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( G `  0
)  =  1 )
164, 15seq1i 12089 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  1 )
17 1nn0 10811 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
18 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
1 ) )
19 fac1 12325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2018, 19syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  1 )
2120oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
2221, 10syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
2322, 12, 13fvmpt 5950 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( G `
 1 )  =  1 )
2417, 23mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( G `  1
)  =  1 )
251, 2, 3, 16, 24seqp1i 12091 . . . . 5  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
26 df-2 10594 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2725, 26syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  2 )
2817a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  NN0 )
29 nn0z 10887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
30 1exp 12163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
3231oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
3332mpteq2ia 4529 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
3412, 33eqtr4i 2499 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
3534efcvg 13682 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
369, 35mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
37 df-e 13666 . . . . . 6  |-  _e  =  ( exp `  1 )
3836, 37syl6breqr 4487 . . . . 5  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  _e )
39 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
4039oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
41 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e. 
_V
4240, 12, 41fvmpt 5950 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
4342adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
44 faccl 12331 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4544adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4645nnrecred 10581 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
4743, 46eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4845nnred 10551 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
4945nngt0d 10579 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <  ( ! `  k
) )
50 1re 9595 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
51 0le1 10076 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
52 divge0 10411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( ! `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
( ! `  k
) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5350, 51, 52mpanl12 682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5448, 49, 53syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
5554, 43breqtrrd 4473 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
561, 28, 38, 47, 55climserle 13448 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  <_  _e )
5727, 56eqbrtrrd 4469 . . 3  |-  ( T. 
->  2  <_  _e )
5857trud 1388 . 2  |-  2  <_  _e
59 nnuz 11117 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1zzd 10895 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
612a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  0  e.  NN0 )
6247recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
631, 61, 62, 38clim2ser 13440 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
) )
64 0p1e1 10647 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
65 seqeq1 12078 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  G ) )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  G
)
6716trud 1388 . . . . . . . 8  |-  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
)  =  1
6867oveq2i 6295 . . . . . . 7  |-  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
)  =  ( _e 
-  1 )
6963, 66, 683brtr3g 4478 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  1 ) )
70 2cnd 10608 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
71 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
72 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
73 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  e. 
_V
7471, 72, 73fvmpt 5950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
76 halfre 10754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
78 reexpcl 12151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )
7976, 77, 78sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
8079recnd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  CC )
8175, 80eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
82 1lt2 10702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
83 2re 10605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
84 0le2 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
85 absid 13092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
8683, 84, 85mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  2 )  =  2
8782, 86breqtrri 4472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  ( abs `  2
)
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  1  <  ( abs `  2 ) )
8970, 88, 75georeclim 13644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  /  (
2  -  1 ) ) )
90 2m1e1 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
9190oveq2i 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  /  1
)
92 2cn 10606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
9392div1i 10272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
9491, 93eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  2
9589, 94syl6breq 4486 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  2 )
961, 61, 81, 95clim2ser 13440 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  -  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 ) ) )
97 seqeq1 12078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) )
9864, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )
99 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
100 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  e. 
_V
10199, 72, 100fvmpt 5950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 ) )
1022, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )
103 halfcn 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
104 exp0 12138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
106102, 105eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ` 
0 )  =  1 )
1084, 107seq1i 12089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  1 )
109108trud 1388 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 )  =  1
110109oveq2i 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  ( 2  -  1 )
111110, 90eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  1
11296, 98, 1113brtr3g 4478 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  1 )
113 nnnn0 10802 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
114113, 81sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
11571oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
116 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
117 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  e. 
_V
118115, 116, 117fvmpt 5950 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
119118adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
120113, 75sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
121120oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
122119, 121eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) `  k ) ) )
12359, 60, 70, 112, 114, 122isermulc2 13443 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 2  x.  1 ) )
124 2t1e2 10684 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
125123, 124syl6breq 4486 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  2 )
126113, 47sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
127 remulcl 9577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  e.  RR )
12883, 79, 127sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
129113, 128sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
130119, 129eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
131 faclbnd2 12337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ k )  /  2 )  <_ 
( ! `  k
) )
132131adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  <_  ( ! `  k ) )
133 2nn 10693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
134 nnexpcl 12147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
135133, 77, 134sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
136135nnrpd 11255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
137136rphalfcld 11268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  e.  RR+ )
13845nnrpd 11255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
139137, 138lerecd 11275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( 2 ^ k )  /  2
)  <_  ( ! `  k )  <->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  <_ 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) ) ) )
140132, 139mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
141 2cnd 10608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  e.  CC )
142135nncnd 10552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
143135nnne0d 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  =/=  0 )
144141, 142, 143divrecd 10323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
145 2ne0 10628 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
146 recdiv 10250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2 ^ k )  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
14792, 145, 146mpanr12 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
148142, 143, 147syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ( 2 ^ k )  /  2 ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ k
) ) )
149145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  =/=  0 )
150 nn0z 10887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
151150adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
152141, 149, 151exprecd 12286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
153152oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
154144, 148, 1533eqtr4rd 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
155140, 154breqtrrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
156113, 155sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
157113, 43sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
158156, 157, 1193brtr4d 4477 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
15959, 60, 69, 125, 126, 130, 158iserle 13445 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( _e  -  1 )  <_  2 )
160159trud 1388 . . . 4  |-  ( _e 
-  1 )  <_ 
2
161 ere 13686 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
162161, 50, 83lesubaddi 10111 . . . 4  |-  ( ( _e  -  1 )  <_  2  <->  _e  <_  ( 2  +  1 ) )
163160, 162mpbi 208 . . 3  |-  _e  <_  ( 2  +  1 )
164 df-3 10595 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
165163, 164breqtrri 4472 . 2  |-  _e  <_  3
16658, 165pm3.2i 455 1  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   3c3 10586   NN0cn0 10795   ZZcz 10864    seqcseq 12075   ^cexp 12134   !cfa 12321   abscabs 13030    ~~> cli 13270   expce 13659   _eceu 13660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666
This theorem is referenced by:  egt2lt3  13800
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