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Theorem ege2le3 14034
Description: Lemma for egt2lt3 14148. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
erelem1.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
ege2le3  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11161 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0nn0 10851 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
3 1e0p1 11047 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4 0z 10916 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
5 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
0 ) )
6 fac0 12400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ! `
 0 )  =  1
75, 6syl6eq 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  1 )
87oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
9 ax-1cn 9580 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
109div1i 10313 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
118, 10syl6eq 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
12 erelem1.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
13 1ex 9621 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5932 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( G `
 0 )  =  1 )
152, 14mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( G `  0
)  =  1 )
164, 15seq1i 12165 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  1 )
17 1nn0 10852 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
18 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
1 ) )
19 fac1 12401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2018, 19syl6eq 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  1 )
2120oveq2d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
2221, 10syl6eq 2459 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
2322, 12, 13fvmpt 5932 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( G `
 1 )  =  1 )
2417, 23mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( G `  1
)  =  1 )
251, 2, 3, 16, 24seqp1i 12167 . . . . 5  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
26 df-2 10635 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2725, 26syl6eqr 2461 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  2 )
2817a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  NN0 )
29 nn0z 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
30 1exp 12239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
3231oveq1d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
3332mpteq2ia 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
3412, 33eqtr4i 2434 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
3534efcvg 14029 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
369, 35mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
37 df-e 14013 . . . . . 6  |-  _e  =  ( exp `  1 )
3836, 37syl6breqr 4435 . . . . 5  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  G )  ~~>  _e )
39 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
4039oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
41 ovex 6306 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e. 
_V
4240, 12, 41fvmpt 5932 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
4342adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
44 faccl 12407 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4544adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4645nnrecred 10622 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
4743, 46eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4845nnred 10591 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
4945nngt0d 10620 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <  ( ! `  k
) )
50 1re 9625 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
51 0le1 10116 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
52 divge0 10452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( ! `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
( ! `  k
) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5350, 51, 52mpanl12 680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5448, 49, 53syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
5554, 43breqtrrd 4421 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
561, 28, 38, 47, 55climserle 13634 . . . 4  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  1 )  <_  _e )
5727, 56eqbrtrrd 4417 . . 3  |-  ( T. 
->  2  <_  _e )
5857trud 1414 . 2  |-  2  <_  _e
59 nnuz 11162 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1zzd 10936 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
612a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  0  e.  NN0 )
6247recnd 9652 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
631, 61, 62, 38clim2ser 13626 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
) )
64 0p1e1 10688 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
65 seqeq1 12154 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  G ) )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  G
)
6716trud 1414 . . . . . . . 8  |-  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
)  =  1
6867oveq2i 6289 . . . . . . 7  |-  ( _e 
-  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  0 )
)  =  ( _e 
-  1 )
6963, 66, 683brtr3g 4426 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  1 ) )
70 2cnd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
71 oveq2 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
72 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
73 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  e. 
_V
7471, 72, 73fvmpt 5932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
7574adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
76 halfre 10795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
77 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
78 reexpcl 12227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )
7976, 77, 78sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
8079recnd 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  CC )
8175, 80eqeltrd 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
82 1lt2 10743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
83 2re 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
84 0le2 10667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
85 absid 13278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
8683, 84, 85mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  2 )  =  2
8782, 86breqtrri 4420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  ( abs `  2
)
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  1  <  ( abs `  2 ) )
8970, 88, 75georeclim 13833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  /  (
2  -  1 ) ) )
90 2m1e1 10691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
9190oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  /  1
)
92 2cn 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
9392div1i 10313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
9491, 93eqtri 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  2
9589, 94syl6breq 4434 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  2 )
961, 61, 81, 95clim2ser 13626 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  seq ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  -  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 ) ) )
97 seqeq1 12154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq ( 0  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) )
9864, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  seq (
0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )
99 oveq2 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
100 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  e. 
_V
10199, 72, 100fvmpt 5932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 ) )
1022, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )
103 halfcn 10796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
104 exp0 12214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
106102, 105eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ` 
0 )  =  1 )
1084, 107seq1i 12165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  1 )
109108trud 1414 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 )  =  1
110109oveq2i 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  ( 2  -  1 )
111110, 90eqtri 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  (  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  1
11296, 98, 1113brtr3g 4426 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  1 )
113 nnnn0 10843 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
114113, 81sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
11571oveq2d 6294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
116 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
117 ovex 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  e. 
_V
118115, 116, 117fvmpt 5932 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
119118adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
120113, 75sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
121120oveq2d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
122119, 121eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) `  k ) ) )
12359, 60, 70, 112, 114, 122isermulc2 13629 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 2  x.  1 ) )
124 2t1e2 10725 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
125123, 124syl6breq 4434 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  2 )
126113, 47sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
127 remulcl 9607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  e.  RR )
12883, 79, 127sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
129113, 128sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
130119, 129eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
131 faclbnd2 12413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ k )  /  2 )  <_ 
( ! `  k
) )
132131adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  <_  ( ! `  k ) )
133 2nn 10734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
134 nnexpcl 12223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
135133, 77, 134sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
136135nnrpd 11302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
137136rphalfcld 11316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  e.  RR+ )
13845nnrpd 11302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
139137, 138lerecd 11323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( 2 ^ k )  /  2
)  <_  ( ! `  k )  <->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  <_ 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) ) ) )
140132, 139mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
141 2cnd 10649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  e.  CC )
142135nncnd 10592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
143135nnne0d 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  =/=  0 )
144141, 142, 143divrecd 10364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
145 2ne0 10669 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
146 recdiv 10291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2 ^ k )  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
14792, 145, 146mpanr12 683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
148142, 143, 147syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ( 2 ^ k )  /  2 ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ k
) ) )
149145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  =/=  0 )
150 nn0z 10928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
151150adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
152141, 149, 151exprecd 12362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
153152oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
154144, 148, 1533eqtr4rd 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
155140, 154breqtrrd 4421 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
156113, 155sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
157113, 43sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
158156, 157, 1193brtr4d 4425 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
15959, 60, 69, 125, 126, 130, 158iserle 13631 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( _e  -  1 )  <_  2 )
160159trud 1414 . . . 4  |-  ( _e 
-  1 )  <_ 
2
161 ere 14033 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
162161, 50, 83lesubaddi 10151 . . . 4  |-  ( ( _e  -  1 )  <_  2  <->  _e  <_  ( 2  +  1 ) )
163160, 162mpbi 208 . . 3  |-  _e  <_  ( 2  +  1 )
164 df-3 10636 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
165163, 164breqtrri 4420 . 2  |-  _e  <_  3
16658, 165pm3.2i 453 1  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405   T. wtru 1406    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841    / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   3c3 10627   NN0cn0 10836   ZZcz 10905    seqcseq 12151   ^cexp 12210   !cfa 12397   abscabs 13216    ~~> cli 13456   expce 14006   _eceu 14007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-e 14013
This theorem is referenced by:  egt2lt3  14148
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