Theorem efopnlem2 23595

Description: Lemma for efopn 23596. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
efopn.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
efopnlem2	|- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. J )

Proof of Theorem efopnlem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 23507	. . . . . . . 8 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
2		f1orn 5822	. . . . . . . . 9 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log <-> ( log Fn ( CC \ { 0 } ) /\ Fun `' log ) )
3	2	simprbi 466	. . . . . . . 8 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> Fun `' log )
4		funcnvres 5650	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' log -> `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( `' log |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . . . . . 7 |- `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( `' log |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
6		df-log 23499	. . . . . . . . . 10 |- log = `' ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
7	6	cnveqi 5008	. . . . . . . . 9 |- `' log = `' `' ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
8		relres 5131	. . . . . . . . . 10 |- Rel ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
9		dfrel2 5285	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) <-> `' `' ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) = ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) )
10	8, 9	mpbi 212	. . . . . . . . 9 |- `' `' ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) = ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
11	7, 10	eqtri 2472	. . . . . . . 8 |- `' log = ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
12	11	reseq1i 5100	. . . . . . 7 |- ( `' log |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) = ( ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
13		imassrn 5178	. . . . . . . . 9 |- ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) C_ ran log
14		logrn 23501	. . . . . . . . 9 |- ran log = ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
15	13, 14	sseqtri 3463	. . . . . . . 8 |- ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
16		resabs1 5132	. . . . . . . 8 |- ( ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) -> ( ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) = ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) = ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
18	5, 12, 17	3eqtri 2476	. . . . . 6 |- `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
19	18	imaeq1i 5164	. . . . 5 |- ( `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) = ( ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) )
20		cnxmet 21786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
22		0cnd 9633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> 0 e. CC )
23		rpxr 11306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
24	23	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> R e. RR* )
25		blssm 21426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ R e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ CC )
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ CC )
27	26	sselda 3431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> x e. CC )
28	27	imcld 13251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( Im ` x ) e. RR )
29		efopnlem1 23594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( abs ` ( Im ` x ) ) < pi )
30		pire 23406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
31		abslt 13370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` x ) ) < pi <-> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) ) )
32	28, 30, 31	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` x ) ) < pi <-> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) ) )
33	29, 32	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
34	33	simpld 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
35	33	simprd 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( Im ` x ) < pi )
36	30	renegcli 9932	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR
37	36	rexri 9690	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR*
38	30	rexri 9690	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR*
39		elioo2 11674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` x ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) ) )
40	37, 38, 39	mp2an 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` x ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
41	28, 34, 35, 40	syl3anbrc 1191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) )
42		imf 13169	. . . . . . . . . . 11 |- Im : CC --> RR
43		ffn 5726	. . . . . . . . . . 11 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
44		elpreima 6000	. . . . . . . . . . 11 |- ( Im Fn CC -> ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
45	42, 43, 44	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
46	27, 41, 45	sylanbrc 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
47	46	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) -> x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
48	47	ssrdv 3437	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
49		df-ima 4846	. . . . . . . 8 |- ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ran ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) )
50		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
51	50	logf1o2 23588	. . . . . . . . 9 |- ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
52		f1ofo 5819	. . . . . . . . 9 |- ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
53		forn 5794	. . . . . . . . 9 |- ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ran ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
54	51, 52, 53	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ran ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
55	49, 54	eqtri 2472	. . . . . . 7 |- ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
56	48, 55	syl6sseqr 3478	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
57		resima2 5137	. . . . . 6 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) -> ( ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) = ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) = ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) )
59	19, 58	syl5eq 2496	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) = ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) )
60	50	logcn 23585	. . . . . 6 |- ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) e. ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )
61		difss 3559	. . . . . . 7 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) C_ CC
62		ssid 3450	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
63		efopn.j	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
64		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) )
65	63	cnfldtop 21797	. . . . . . . . . 10 |- J e. Top
66	63	cnfldtopon 21796	. . . . . . . . . . . 12 |- J e. (TopOn ` CC )
67	66	toponunii 19940	. . . . . . . . . . 11 |- CC = U. J
68	67	restid 15325	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> ( J ↾t CC ) = J )
69	65, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t CC ) = J
70	69	eqcomi 2459	. . . . . . . 8 |- J = ( J ↾t CC )
71	63, 64, 70	cncfcn 21934	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC ) = ( ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) Cn J ) )
72	61, 62, 71	mp2an 677	. . . . . 6 |- ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC ) = ( ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) Cn J )
73	60, 72	eleqtri 2526	. . . . 5 |- ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) e. ( ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) Cn J )
74	63	cnfldtopn 21795	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
75	74	blopn 21508	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ R e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. J )
76	21, 22, 24, 75	syl3anc 1267	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. J )
77		cnima 20274	. . . . 5 |- ( ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) e. ( ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) Cn J ) /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. J ) -> ( `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
78	73, 76, 77	sylancr 668	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
79	59, 78	eqeltrrd 2529	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
80	50	logdmopn 23587	. . . . 5 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) e. ( TopOpen ` ℂfld )
81	80, 63	eleqtrri 2527	. . . 4 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) e. J
82		restopn2 20186	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) e. J ) -> ( ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) <-> ( ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. J /\ ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) C_ ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
83	65, 81, 82	mp2an 677	. . 3 |- ( ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) <-> ( ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. J /\ ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) C_ ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
84	79, 83	sylib 200	. 2 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. J /\ ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) C_ ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
85	84	simpld 461	1 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   \ cdif 3400   C_ wss 3403   {csn 3967   class class class wbr 4401   `'ccnv 4832   ran crn 4834   |` cres 4835   "cima 4836   o. ccom 4837   Rel wrel 4838   Fun wfun 5575   Fn wfn 5576   -->wf 5577   -onto->wfo 5579   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   -oocmnf 9670   RR*cxr 9671   < clt 9672   - cmin 9857   -ucneg 9858   RR+crp 11299   (,)cioo 11632   (,]cioc 11633   Imcim 13154   abscabs 13290   expce 14107   picpi 14112   ↾_t crest 15312   TopOpenctopn 15313   *Metcxmt 18948   ballcbl 18950  ℂ_fldccnfld 18963   Topctop 19910   Cn ccn 20233   -cn->ccncf 21901   logclog 23497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499

This theorem is referenced by:  efopn  23596