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Theorem efopnlem2 22220
Description: Lemma for efopn 22221. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
efopnlem2  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  J
)

Proof of Theorem efopnlem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 22134 . . . . . . . 8  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1orn 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log 
<->  ( log  Fn  ( CC  \  { 0 } )  /\  Fun  `' log ) )
32simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  `' log )
4 funcnvres 5587 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `' log  ->  `' ( log  |`  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( `' log  |`  ( log " ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
51, 3, 4mp2b 10 . . . . . . 7  |-  `' ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) )  =  ( `' log  |`  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) )
6 df-log 22126 . . . . . . . . . 10  |-  log  =  `' ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
76cnveqi 5114 . . . . . . . . 9  |-  `' log  =  `' `' ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
8 relres 5238 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
9 dfrel2 5388 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  <->  `' `' ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  =  ( exp  |`  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) ) ) )
108, 9mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  `' `' ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  =  ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
117, 10eqtri 2480 . . . . . . . 8  |-  `' log  =  ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
1211reseq1i 5206 . . . . . . 7  |-  ( `' log  |`  ( log " ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  |`  ( log " ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
13 imassrn 5280 . . . . . . . . 9  |-  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  C_  ran  log
14 logrn 22128 . . . . . . . . 9  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
1513, 14sseqtri 3488 . . . . . . . 8  |-  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
16 resabs1 5239 . . . . . . . 8  |-  ( ( log " ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )  ->  (
( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  |`  ( log " ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( exp  |`  ( log " ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  |`  ( log " ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( exp  |`  ( log " ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
185, 12, 173eqtri 2484 . . . . . 6  |-  `' ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) )  =  ( exp  |`  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) )
1918imaeq1i 5266 . . . . 5  |-  ( `' ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
" ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  =  ( ( exp  |`  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) ) "
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
20 cnxmet 20470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
22 0cnd 9482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  0  e.  CC )
23 rpxr 11101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  R  e.  RR* )
25 blssm 20111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  CC )
2621, 22, 24, 25syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  CC )
2726sselda 3456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  x  e.  CC )
2827imcld 12788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( Im `  x
)  e.  RR )
29 efopnlem1 22219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( abs `  (
Im `  x )
)  <  pi )
30 pire 22039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
31 abslt 12906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  x )
)  <  pi  <->  ( -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <  pi ) ) )
3228, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  x )
)  <  pi  <->  ( -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <  pi ) ) )
3329, 32mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  x )  /\  ( Im `  x
)  <  pi )
)
3433simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  x ) )
3533simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( Im `  x
)  <  pi )
3630renegcli 9773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
3736rexri 9539 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR*
3830rexri 9539 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR*
39 elioo2 11444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  x )  e.  (
-u pi (,) pi ) 
<->  ( ( Im `  x )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) ) )
4037, 38, 39mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  x )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
4128, 34, 35, 40syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )
42 imf 12706 . . . . . . . . . . 11  |-  Im : CC
--> RR
43 ffn 5659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
44 elpreima 5924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
4627, 41, 45sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
4746ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  ->  x  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) ) )
4847ssrdv 3462 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
49 df-ima 4953 . . . . . . . 8  |-  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  =  ran  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) )
50 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
5150logf1o2 22213 . . . . . . . . 9  |-  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
52 f1ofo 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) ) : ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) -onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
53 forn 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) ) : ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) )  ->  ran  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) )  =  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
5451, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ran  ( log  |`  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
5549, 54eqtri 2480 . . . . . . 7  |-  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
5648, 55syl6sseqr 3503 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) )
57 resima2 5243 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  ->  (
( exp  |`  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) ) "
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  =  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
( exp  |`  ( log " ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) ) "
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  =  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) ) )
5919, 58syl5eq 2504 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( `' ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
" ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  =  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
6050logcn 22210 . . . . . 6  |-  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )
61 difss 3583 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
62 ssid 3475 . . . . . . 7  |-  CC  C_  CC
63 efopn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
64 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( Jt  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )
6563cnfldtop 20481 . . . . . . . . . 10  |-  J  e. 
Top
6663cnfldtopon 20480 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
6766toponunii 18655 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  U. J
6867restid 14476 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  CC )  =  J
)
6965, 68ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  CC )  =  J
7069eqcomi 2464 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Jt  CC )
7163, 64, 70cncfcn 20603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )  =  ( ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  Cn  J ) )
7261, 62, 71mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )  =  ( ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  Cn  J )
7360, 72eleqtri 2537 . . . . 5  |-  ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  Cn  J )
7463cnfldtopn 20479 . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
7574blopn 20193 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  J
)
7621, 22, 24, 75syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  J
)
77 cnima 18987 . . . . 5  |-  ( ( ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  Cn  J )  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  J )  -> 
( `' ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  e.  ( Jt  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ) )
7873, 76, 77sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( `' ( log  |`  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
" ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
7959, 78eqeltrrd 2540 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
8050logdmopn 22212 . . . . 5  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
8180, 63eleqtrri 2538 . . . 4  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  e.  J
82 restopn2 18899 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  e.  J )  -> 
( ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  e.  ( Jt  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  <->  ( ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  J  /\  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
8365, 81, 82mp2an 672 . . 3  |-  ( ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  e.  ( Jt  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  <->  ( ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  J  /\  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
8479, 83sylib 196 . 2  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  e.  J  /\  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
8584simpld 459 1  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3425    C_ wss 3428   {csn 3977   class class class wbr 4392   `'ccnv 4939   ran crn 4941    |` cres 4942   "cima 4943    o. ccom 4944   Rel wrel 4945   Fun wfun 5512    Fn wfn 5513   -->wf 5514   -onto->wfo 5516   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   -oocmnf 9519   RR*cxr 9520    < clt 9521    - cmin 9698   -ucneg 9699   RR+crp 11094   (,)cioo 11403   (,]cioc 11404   Imcim 12691   abscabs 12827   expce 13451   picpi 13456   ↾t crest 14463   TopOpenctopn 14464   *Metcxmt 17912   ballcbl 17914  ℂfldccnfld 17929   Topctop 18616    Cn ccn 18946   -cn->ccncf 20570   logclog 22124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-ef 13457  df-sin 13459  df-cos 13460  df-tan 13461  df-pi 13462  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-limc 21459  df-dv 21460  df-log 22126
This theorem is referenced by:  efopn  22221
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