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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > efopnlem2 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Lemma for efopn 23596. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.) |
Ref | Expression |
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efopn.j |
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Ref | Expression |
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efopnlem2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | logf1o 23507 |
. . . . . . . 8
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2 | f1orn 5822 |
. . . . . . . . 9
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3 | 2 | simprbi 466 |
. . . . . . . 8
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4 | funcnvres 5650 |
. . . . . . . 8
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5 | 1, 3, 4 | mp2b 10 |
. . . . . . 7
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6 | df-log 23499 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | cnveqi 5008 |
. . . . . . . . 9
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8 | relres 5131 |
. . . . . . . . . 10
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9 | dfrel2 5285 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 8, 9 | mpbi 212 |
. . . . . . . . 9
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11 | 7, 10 | eqtri 2472 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | reseq1i 5100 |
. . . . . . 7
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13 | imassrn 5178 |
. . . . . . . . 9
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14 | logrn 23501 |
. . . . . . . . 9
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15 | 13, 14 | sseqtri 3463 |
. . . . . . . 8
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16 | resabs1 5132 |
. . . . . . . 8
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17 | 15, 16 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
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18 | 5, 12, 17 | 3eqtri 2476 |
. . . . . 6
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19 | 18 | imaeq1i 5164 |
. . . . 5
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20 | cnxmet 21786 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 0cnd 9633 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | rpxr 11306 |
. . . . . . . . . . . . 13
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24 | 23 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | blssm 21426 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 21, 22, 24, 25 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 26 | sselda 3431 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 27 | imcld 13251 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | efopnlem1 23594 |
. . . . . . . . . . . . 13
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30 | pire 23406 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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31 | abslt 13370 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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32 | 28, 30, 31 | sylancl 667 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | 29, 32 | mpbid 214 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | 33 | simpld 461 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 33 | simprd 465 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 30 | renegcli 9932 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | 36 | rexri 9690 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 30 | rexri 9690 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | elioo2 11674 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 37, 38, 39 | mp2an 677 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 28, 34, 35, 40 | syl3anbrc 1191 |
. . . . . . . . . 10
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42 | imf 13169 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | ffn 5726 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | elpreima 6000 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 42, 43, 44 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 27, 41, 45 | sylanbrc 669 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46 | ex 436 |
. . . . . . . 8
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48 | 47 | ssrdv 3437 |
. . . . . . 7
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49 | df-ima 4846 |
. . . . . . . 8
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50 | eqid 2450 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 50 | logf1o2 23588 |
. . . . . . . . 9
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52 | f1ofo 5819 |
. . . . . . . . 9
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53 | forn 5794 |
. . . . . . . . 9
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54 | 51, 52, 53 | mp2b 10 |
. . . . . . . 8
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55 | 49, 54 | eqtri 2472 |
. . . . . . 7
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56 | 48, 55 | syl6sseqr 3478 |
. . . . . 6
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57 | resima2 5137 |
. . . . . 6
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58 | 56, 57 | syl 17 |
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59 | 19, 58 | syl5eq 2496 |
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61 | difss 3559 |
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62 | ssid 3450 |
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63 | efopn.j |
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64 | eqid 2450 |
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66 | 63 | cnfldtopon 21796 |
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67 | 66 | toponunii 19940 |
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68 | 67 | restid 15325 |
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69 | 65, 68 | ax-mp 5 |
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70 | 69 | eqcomi 2459 |
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71 | 63, 64, 70 | cncfcn 21934 |
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72 | 61, 62, 71 | mp2an 677 |
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73 | 60, 72 | eleqtri 2526 |
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74 | 63 | cnfldtopn 21795 |
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75 | 74 | blopn 21508 |
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76 | 21, 22, 24, 75 | syl3anc 1267 |
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77 | cnima 20274 |
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78 | 73, 76, 77 | sylancr 668 |
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79 | 59, 78 | eqeltrrd 2529 |
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80 | 50 | logdmopn 23587 |
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81 | 80, 63 | eleqtrri 2527 |
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82 | restopn2 20186 |
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83 | 65, 81, 82 | mp2an 677 |
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84 | 79, 83 | sylib 200 |
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85 | 84 | simpld 461 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 ax-inf2 8143 ax-cnex 9592 ax-resscn 9593 ax-1cn 9594 ax-icn 9595 ax-addcl 9596 ax-addrcl 9597 ax-mulcl 9598 ax-mulrcl 9599 ax-mulcom 9600 ax-addass 9601 ax-mulass 9602 ax-distr 9603 ax-i2m1 9604 ax-1ne0 9605 ax-1rid 9606 ax-rnegex 9607 ax-rrecex 9608 ax-cnre 9609 ax-pre-lttri 9610 ax-pre-lttrn 9611 ax-pre-ltadd 9612 ax-pre-mulgt0 9613 ax-pre-sup 9614 ax-addf 9615 ax-mulf 9616 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-fal 1449 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-nel 2624 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rmo 2744 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-int 4234 df-iun 4279 df-iin 4280 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-se 4793 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-isom 5590 df-riota 6250 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-of 6528 df-om 6690 df-1st 6790 df-2nd 6791 df-supp 6912 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-1o 7179 df-2o 7180 df-oadd 7183 df-er 7360 df-map 7471 df-pm 7472 df-ixp 7520 df-en 7567 df-dom 7568 df-sdom 7569 df-fin 7570 df-fsupp 7881 df-fi 7922 df-sup 7953 df-inf 7954 df-oi 8022 df-card 8370 df-cda 8595 df-pnf 9674 df-mnf 9675 df-xr 9676 df-ltxr 9677 df-le 9678 df-sub 9859 df-neg 9860 df-div 10267 df-nn 10607 df-2 10665 df-3 10666 df-4 10667 df-5 10668 df-6 10669 df-7 10670 df-8 10671 df-9 10672 df-10 10673 df-n0 10867 df-z 10935 df-dec 11049 df-uz 11157 df-q 11262 df-rp 11300 df-xneg 11406 df-xadd 11407 df-xmul 11408 df-ioo 11636 df-ioc 11637 df-ico 11638 df-icc 11639 df-fz 11782 df-fzo 11913 df-fl 12025 df-mod 12094 df-seq 12211 df-exp 12270 df-fac 12457 df-bc 12485 df-hash 12513 df-shft 13123 df-cj 13155 df-re 13156 df-im 13157 df-sqrt 13291 df-abs 13292 df-limsup 13519 df-clim 13545 df-rlim 13546 df-sum 13746 df-ef 14114 df-sin 14116 df-cos 14117 df-tan 14118 df-pi 14119 df-struct 15116 df-ndx 15117 df-slot 15118 df-base 15119 df-sets 15120 df-ress 15121 df-plusg 15196 df-mulr 15197 df-starv 15198 df-sca 15199 df-vsca 15200 df-ip 15201 df-tset 15202 df-ple 15203 df-ds 15205 df-unif 15206 df-hom 15207 df-cco 15208 df-rest 15314 df-topn 15315 df-0g 15333 df-gsum 15334 df-topgen 15335 df-pt 15336 df-prds 15339 df-xrs 15393 df-qtop 15399 df-imas 15400 df-xps 15403 df-mre 15485 df-mrc 15486 df-acs 15488 df-mgm 16481 df-sgrp 16520 df-mnd 16530 df-submnd 16576 df-mulg 16669 df-cntz 16964 df-cmn 17425 df-psmet 18955 df-xmet 18956 df-met 18957 df-bl 18958 df-mopn 18959 df-fbas 18960 df-fg 18961 df-cnfld 18964 df-top 19914 df-bases 19915 df-topon 19916 df-topsp 19917 df-cld 20027 df-ntr 20028 df-cls 20029 df-nei 20107 df-lp 20145 df-perf 20146 df-cn 20236 df-cnp 20237 df-haus 20324 df-cmp 20395 df-tx 20570 df-hmeo 20763 df-fil 20854 df-fm 20946 df-flim 20947 df-flf 20948 df-xms 21328 df-ms 21329 df-tms 21330 df-cncf 21903 df-limc 22814 df-dv 22815 df-log 23499 |
This theorem is referenced by: efopn 23596 |
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