Theorem efopnlem2 22220

Description: Lemma for efopn 22221. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
efopn.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
efopnlem2	|- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. J )

Proof of Theorem efopnlem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 22134	. . . . . . . 8 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
2		f1orn 5751	. . . . . . . . 9 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log <-> ( log Fn ( CC \ { 0 } ) /\ Fun `' log ) )
3	2	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> Fun `' log )
4		funcnvres 5587	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' log -> `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( `' log |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . . . . . 7 |- `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( `' log |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
6		df-log 22126	. . . . . . . . . 10 |- log = `' ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
7	6	cnveqi 5114	. . . . . . . . 9 |- `' log = `' `' ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
8		relres 5238	. . . . . . . . . 10 |- Rel ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
9		dfrel2 5388	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) <-> `' `' ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) = ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) )
10	8, 9	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- `' `' ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) = ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
11	7, 10	eqtri 2480	. . . . . . . 8 |- `' log = ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
12	11	reseq1i 5206	. . . . . . 7 |- ( `' log |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) = ( ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
13		imassrn 5280	. . . . . . . . 9 |- ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) C_ ran log
14		logrn 22128	. . . . . . . . 9 |- ran log = ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
15	13, 14	sseqtri 3488	. . . . . . . 8 |- ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
16		resabs1 5239	. . . . . . . 8 |- ( ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) -> ( ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) = ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( exp |` ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) ) |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) = ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
18	5, 12, 17	3eqtri 2484	. . . . . 6 |- `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
19	18	imaeq1i 5266	. . . . 5 |- ( `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) = ( ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) )
20		cnxmet 20470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
22		0cnd 9482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> 0 e. CC )
23		rpxr 11101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> R e. RR* )
25		blssm 20111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ R e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ CC )
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ CC )
27	26	sselda 3456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> x e. CC )
28	27	imcld 12788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( Im ` x ) e. RR )
29		efopnlem1 22219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( abs ` ( Im ` x ) ) < pi )
30		pire 22039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
31		abslt 12906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` x ) ) < pi <-> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) ) )
32	28, 30, 31	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` x ) ) < pi <-> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) ) )
33	29, 32	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
34	33	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
35	33	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( Im ` x ) < pi )
36	30	renegcli 9773	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR
37	36	rexri 9539	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR*
38	30	rexri 9539	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR*
39		elioo2 11444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` x ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) ) )
40	37, 38, 39	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` x ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
41	28, 34, 35, 40	syl3anbrc 1172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) )
42		imf 12706	. . . . . . . . . . 11 |- Im : CC --> RR
43		ffn 5659	. . . . . . . . . . 11 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
44		elpreima 5924	. . . . . . . . . . 11 |- ( Im Fn CC -> ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
45	42, 43, 44	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
46	27, 41, 45	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) /\ x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) -> x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
47	46	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) -> x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
48	47	ssrdv 3462	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
49		df-ima 4953	. . . . . . . 8 |- ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ran ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) )
50		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
51	50	logf1o2 22213	. . . . . . . . 9 |- ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
52		f1ofo 5748	. . . . . . . . 9 |- ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
53		forn 5723	. . . . . . . . 9 |- ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ran ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
54	51, 52, 53	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ran ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
55	49, 54	eqtri 2480	. . . . . . 7 |- ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
56	48, 55	syl6sseqr 3503	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
57		resima2 5243	. . . . . 6 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) C_ ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) -> ( ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) = ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) )
58	56, 57	syl 16	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( ( exp |` ( log " ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) = ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) )
59	19, 58	syl5eq 2504	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) = ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) )
60	50	logcn 22210	. . . . . 6 |- ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) e. ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )
61		difss 3583	. . . . . . 7 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) C_ CC
62		ssid 3475	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
63		efopn.j	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
64		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) = ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) )
65	63	cnfldtop 20481	. . . . . . . . . 10 |- J e. Top
66	63	cnfldtopon 20480	. . . . . . . . . . . 12 |- J e. (TopOn ` CC )
67	66	toponunii 18655	. . . . . . . . . . 11 |- CC = U. J
68	67	restid 14476	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> ( J ↾t CC ) = J )
69	65, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t CC ) = J
70	69	eqcomi 2464	. . . . . . . 8 |- J = ( J ↾t CC )
71	63, 64, 70	cncfcn 20603	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC ) = ( ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) Cn J ) )
72	61, 62, 71	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC ) = ( ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) Cn J )
73	60, 72	eleqtri 2537	. . . . 5 |- ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) e. ( ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) Cn J )
74	63	cnfldtopn 20479	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
75	74	blopn 20193	. . . . . 6 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ R e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. J )
76	21, 22, 24, 75	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. J )
77		cnima 18987	. . . . 5 |- ( ( ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) e. ( ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) Cn J ) /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) e. J ) -> ( `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
78	73, 76, 77	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( `' ( log |` ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
79	59, 78	eqeltrrd 2540	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
80	50	logdmopn 22212	. . . . 5 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) e. ( TopOpen ` ℂfld )
81	80, 63	eleqtrri 2538	. . . 4 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) e. J
82		restopn2 18899	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) e. J ) -> ( ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) <-> ( ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. J /\ ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) C_ ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) ) )
83	65, 81, 82	mp2an 672	. . 3 |- ( ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. ( J ↾t ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) <-> ( ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. J /\ ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) C_ ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
84	79, 83	sylib 196	. 2 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. J /\ ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) C_ ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) ) )
85	84	simpld 459	1 |- ( ( R e. RR+ /\ R < pi ) -> ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) R ) ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   \ cdif 3425   C_ wss 3428   {csn 3977   class class class wbr 4392   `'ccnv 4939   ran crn 4941   |` cres 4942   "cima 4943   o. ccom 4944   Rel wrel 4945   Fun wfun 5512   Fn wfn 5513   -->wf 5514   -onto->wfo 5516   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   -oocmnf 9519   RR*cxr 9520   < clt 9521   - cmin 9698   -ucneg 9699   RR+crp 11094   (,)cioo 11403   (,]cioc 11404   Imcim 12691   abscabs 12827   expce 13451   picpi 13456   ↾_t crest 14463   TopOpenctopn 14464   *Metcxmt 17912   ballcbl 17914  ℂ_fldccnfld 17929   Topctop 18616   Cn ccn 18946   -cn->ccncf 20570   logclog 22124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-ef 13457  df-sin 13459  df-cos 13460  df-tan 13461  df-pi 13462  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-limc 21459  df-dv 21460  df-log 22126

This theorem is referenced by:  efopn  22221