MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efopnlem1 Structured version   Unicode version

Theorem efopnlem1 22760
Description: Lemma for efopn 22762. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
efopnlem1  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  <  pi )

Proof of Theorem efopnlem1
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
2 rpxr 11218 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
32ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  R  e.  RR* )
4 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
54cnbl0 21011 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( `' abs " ( 0 [,) R ) )  =  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )
63, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( `' abs " (
0 [,) R ) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
71, 6eleqtrrd 2553 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  A  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) )
8 absf 13121 . . . . . . . 8  |-  abs : CC
--> RR
9 ffn 5724 . . . . . . . 8  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
10 elpreima 5994 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( A  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  ( 0 [,) R ) ) ) )
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  ( 0 [,) R ) ) )
1211simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  ->  A  e.  CC )
137, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  A  e.  CC )
1413imcld 12980 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  RR )
1514recnd 9613 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
1615abscld 13218 . 2  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
17 rpre 11217 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
1817ad2antrr 725 . 2  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  R  e.  RR )
19 pire 22580 . . 3  |-  pi  e.  RR
2019a1i 11 . 2  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  pi  e.  RR )
2113abscld 13218 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
22 absimle 13094 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  <_ 
( abs `  A
) )
2313, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  <_  ( abs `  A ) )
2411simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  ->  ( abs `  A )  e.  ( 0 [,) R
) )
257, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  ( 0 [,) R ) )
26 0re 9587 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
27 elico2 11579 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  R  e.  RR* )  -> 
( ( abs `  A
)  e.  ( 0 [,) R )  <->  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  A
)  /\  ( abs `  A )  <  R
) ) )
2826, 3, 27sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( ( abs `  A
)  e.  ( 0 [,) R )  <->  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  A
)  /\  ( abs `  A )  <  R
) ) )
2925, 28mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
)  /\  ( abs `  A )  <  R
) )
3029simp3d 1005 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( abs `  A
)  <  R )
3116, 21, 18, 23, 30lelttrd 9730 . 2  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  <  R )
32 simplr 754 . 2  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  R  <  pi )
3316, 18, 20, 31, 32lttrd 9733 1  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  A  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  <  pi )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   "cima 4997    o. ccom 4998    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   RR+crp 11211   [,)cico 11522   Imcim 12883   abscabs 13019   picpi 13655   ballcbl 18171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001
This theorem is referenced by:  efopnlem2  22761
  Copyright terms: Public domain W3C validator