MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efne0 Structured version   Unicode version

Theorem efne0 13386
Description: The exponential function never vanishes. Corollary 15-4.3 of [Gleason] p. 309. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efne0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  =/=  0 )

Proof of Theorem efne0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9356 . 2  |-  1  =/=  0
2 oveq1 6103 . . . 4  |-  ( ( exp `  A )  =  0  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  ( 0  x.  ( exp `  -u A
) ) )
3 efcan 13385 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  1 )
4 negcl 9615 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5 efcl 13373 . . . . . . 7  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  -u A
)  e.  CC )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u A )  e.  CC )
76mul02d 9572 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  ( exp `  -u A ) )  =  0 )
83, 7eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  -u A ) )  =  ( 0  x.  ( exp `  -u A
) )  <->  1  = 
0 ) )
92, 8syl5ib 219 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  =  0  -> 
1  =  0 ) )
109necon3d 2651 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  =/=  0  -> 
( exp `  A
)  =/=  0 ) )
111, 10mpi 17 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   0cc0 9287   1c1 9288    x. cmul 9292   -ucneg 9601   expce 13352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358
This theorem is referenced by:  efneg  13387  eff2  13388  efsub  13389  efgt0  13392  tanval3  13423  reeff1o  21917  efeq1  21990  efif1olem4  22006  eff1olem  22009  eflogeq  22055  dvloglem  22098  logf1o2  22100  efopn  22108  cxpne0  22127  atantan  22323  cxploglim  22376  gamne0  27037  iprodefisum  27510  expgrowth  29614
  Copyright terms: Public domain W3C validator