Theorem efmival 8713

Description: The exponential function in terms of sine and cosine.

Assertion

Ref	Expression
efmival	|- (A e. CC -> (exp` (-u_i x. A)) = ((cos` A) - (_i x. (sin` A))))

Proof of Theorem efmival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axicn 6423	. . . 4 |- _i e. CC
2		mulneg12 6617	. . . 4 |- ((_i e. CC /\ A e. CC) -> (-u_i x. A) = (_i x. -uA))
3	1, 2	mpan 759	. . 3 |- (A e. CC -> (-u_i x. A) = (_i x. -uA))
4	3	fveq2d 4685	. 2 |- (A e. CC -> (exp` (-u_i x. A)) = (exp` (_i x. -uA)))
5		negcl 6525	. . 3 |- (A e. CC -> -uA e. CC)
6		efival 8712	. . 3 |- (-uA e. CC -> (exp` (_i x. -uA)) = ((cos` -uA) + (_i x. (sin` -uA))))
7	5, 6	syl 12	. 2 |- (A e. CC -> (exp` (_i x. -uA)) = ((cos` -uA) + (_i x. (sin` -uA))))
8		cosneg 8708	. . . 4 |- (A e. CC -> (cos` -uA) = (cos` A))
9		sinneg 8707	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (sin` -uA) = -u(sin` A))
10	9	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (A e. CC -> (_i x. (sin` -uA)) = (_i x. -u(sin` A)))
11		mulneg2 6616	. . . . . 6 |- ((_i e. CC /\ (sin` A) e. CC) -> (_i x. -u(sin` A)) = -u(_i x. (sin` A)))
12		sincl 8696	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)
13	11, 1, 12	sylancr 526	. . . . 5 |- (A e. CC -> (_i x. -u(sin` A)) = -u(_i x. (sin` A)))
14	10, 13	eqtrd 1925	. . . 4 |- (A e. CC -> (_i x. (sin` -uA)) = -u(_i x. (sin` A)))
15	8, 14	opreq12d 4900	. . 3 |- (A e. CC -> ((cos` -uA) + (_i x. (sin` -uA))) = ((cos` A) + -u(_i x. (sin` A))))
16		coscl 8697	. . . 4 |- (A e. CC -> (cos` A) e. CC)
17		mulcl 6456	. . . . 5 |- ((_i e. CC /\ (sin` A) e. CC) -> (_i x. (sin` A)) e. CC)
18	17, 1, 12	sylancr 526	. . . 4 |- (A e. CC -> (_i x. (sin` A)) e. CC)
19		negsub 6540	. . . 4 |- (((cos` A) e. CC /\ (_i x. (sin` A)) e. CC) -> ((cos` A) + -u(_i x. (sin` A))) = ((cos` A) - (_i x. (sin` A))))
20	16, 18, 19	syl11anc 524	. . 3 |- (A e. CC -> ((cos` A) + -u(_i x. (sin` A))) = ((cos` A) - (_i x. (sin` A))))
21	15, 20	eqtrd 1925	. 2 |- (A e. CC -> ((cos` -uA) + (_i x. (sin` -uA))) = ((cos` A) - (_i x. (sin` A))))
22	4, 7, 21	3eqtrd 1929	1 |- (A e. CC -> (exp` (-u_i x. A)) = ((cos` A) - (_i x. (sin` A))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446  expce 8555  sincsin 8557  cosccos 8558

This theorem is referenced by:  sinaddi 8716  cosaddi 8717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-sin 8562  df-cos 8563

Copyright terms: Public domain