Theorem efm1limi 8676

Description: Series convergence to the exponential function minus 1. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
efm1lim.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
efm1lim.2	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
efm1limi	|- (<.1, + >. seq F) ~~> ((exp` A) - 1)

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem efm1limi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 7322	. . . 4 |- 0 e. NN0
2		nn0uz 7607	. . . 4 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
3	1, 2	eleqtri 1969	. . 3 |- 0 e. (ZZ>=` 0)
4		nn0ex 7314	. . . . 5 |- NN0 e. _V
5		efm1lim.1	. . . . 5 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
6	4, 5	fopabex2 4541	. . . 4 |- F e. _V
7		fvex 4689	. . . 4 |- (exp` A) e. _V
8		addex 6470	. . . . . 6 |- + e. _V
9	8, 6	seq0seqz 7785	. . . . 5 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
10		efm1lim.2	. . . . . 6 |- A e. CC
11	5	efcvg 8576	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
13	9, 12	eqbrtrri 3358	. . . 4 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
14		eftcl 8565	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
15	10, 14	mpan 759	. . . . . 6 |- (j e. NN0 -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
16	5, 15	fopab 4800	. . . . 5 |- F:NN0-->CC
17	2	feq2i 4559	. . . . 5 |- (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>=` 0)-->CC)
18	16, 17	mpbi 206	. . . 4 |- F:(ZZ>=` 0)-->CC
19	6, 7, 13, 18	clim2serzi 8405	. . 3 |- (0 e. (ZZ>=` 0) -> (<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0)))
20	3, 19	ax-mp 7	. 2 |- (<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0))
21		ax1cn 6422	. . . . 5 |- 1 e. CC
22	21	addid2i 6484	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
23	22	opeq1i 3161	. . 3 |- <.(0 + 1), + >. = <.1, + >.
24	23	opreq1i 4892	. 2 |- (<.(0 + 1), + >. seq F) = (<.1, + >. seq F)
25		0z 7355	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
26	8, 6	seqz1 7790	. . . . 5 |- (0 e. ZZ -> ((<.0, + >. seq F)` 0) = (F` 0))
27	25, 26	ax-mp 7	. . . 4 |- ((<.0, + >. seq F)` 0) = (F` 0)
28	5, 10	eft0vali 8663	. . . 4 |- (F` 0) = 1
29	27, 28	eqtri 1908	. . 3 |- ((<.0, + >. seq F)` 0) = 1
30	29	opreq2i 4893	. 2 |- ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0)) = ((exp` A) - 1)
31	20, 24, 30	3brtr3i 3364	1 |- (<.1, + >. seq F) ~~> ((exp` A) - 1)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   / cdiv 6447  NN0cn0 6450  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   seq cseqz 7774   seq0 cseq0 7775  ^cexp 7811  !cfa 8183   ~~> cli 8234  expce 8555

This theorem is referenced by:  absefm1lei 8677

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

Copyright terms: Public domain