MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflog Structured version   Unicode version

Theorem eflog 22829
Description: Relationship between the natural logarithm function and the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)
Assertion
Ref Expression
eflog  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem eflog
StepHypRef Expression
1 dflog2 22813 . . . 4  |-  log  =  `' ( exp  |`  ran  log )
21fveq1i 5853 . . 3  |-  ( log `  A )  =  ( `' ( exp  |`  ran  log ) `  A )
32fveq2i 5855 . 2  |-  ( ( exp  |`  ran  log ) `  ( log `  A
) )  =  ( ( exp  |`  ran  log ) `  ( `' ( exp  |`  ran  log ) `  A ) )
4 logrncl 22820 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  ran  log )
5 fvres 5866 . . 3  |-  ( ( log `  A )  e.  ran  log  ->  ( ( exp  |`  ran  log ) `  ( log `  A ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( exp  |`  ran  log ) `  ( log `  A ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) ) )
7 eldifsn 4136 . . 3  |-  ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
8 eff1o2 22816 . . . 4  |-  ( exp  |`  ran  log ) : ran  log -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } )
9 f1ocnvfv2 6164 . . . 4  |-  ( ( ( exp  |`  ran  log ) : ran  log -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } )  /\  A  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( exp  |`  ran  log ) `  ( `' ( exp  |`  ran  log ) `  A ) )  =  A )
108, 9mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( exp  |`  ran  log ) `  ( `' ( exp  |`  ran  log ) `  A )
)  =  A )
117, 10sylbir 213 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( exp  |`  ran  log ) `  ( `' ( exp  |`  ran  log ) `  A ) )  =  A )
123, 6, 113eqtr3a 2506 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636    \ cdif 3455   {csn 4010   `'ccnv 4984   ran crn 4986    |` cres 4987   -1-1-onto->wf1o 5573   ` cfv 5574   CCcc 9488   0cc0 9490   expce 13670   logclog 22807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809
This theorem is referenced by:  reeflog  22830  lognegb  22839  explog  22843  relog  22846  eflogeq  22851  logcj  22856  efiarg  22857  logimul  22864  logneg2  22865  logmul2  22866  logdiv2  22867  logcnlem4  22891  cxpeq  22996  ang180lem1  23006  logrec  23016  asinneg  23082  efiasin  23084  efiatan2  23113  2efiatan  23114  atantan  23119  birthdaylem2  23147  logeq0im1  27876  logccne0OLD  27877  gamcvg  28464  gamp1  28466  gamcvg2lem  28467  iprodgam  29093  stirlinglem14  31754
  Copyright terms: Public domain W3C validator