Theorem eflegeolem2 8679

Description: Lemma for eflegeoi 8680.

Hypotheses

Ref	Expression
eflegeolem2.1	|- A e. RR
eflegeolem2.2	|- (0 <_ A /\ A < 1)
eflegeolem2.3	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
eflegeolem2.4	|- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (A^j))}

Assertion

Ref	Expression
eflegeolem2	|- (exp` A) <_ (1 / (1 - A))

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem eflegeolem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addex 6470	. . . . 5 |- + e. _V
2		nn0ex 7314	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
3		eflegeolem2.3	. . . . . 6 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
4	2, 3	fopabex2 4541	. . . . 5 |- F e. _V
5	1, 4	seq0seqz 7785	. . . 4 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
6		eflegeolem2.1	. . . . . 6 |- A e. RR
7	6	recni 6467	. . . . 5 |- A e. CC
8	3	efcvg 8576	. . . . 5 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
10	5, 9	eqbrtrri 3358	. . 3 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
11		eflegeolem2.4	. . . . . 6 |- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (A^j))}
12	2, 11	fopabex2 4541	. . . . 5 |- G e. _V
13	1, 12	seq0seqz 7785	. . . 4 |- ( + seq0 G) = (<.0, + >. seq G)
14		1re 6598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
15	6, 14	abslti 8127	. . . . . 6 |- ((abs` A) < 1 <-> (-u1 < A /\ A < 1))
16		lt01 6871	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
17		lt0neg2 6858	. . . . . . . . 9 |- (1 e. RR -> (0 < 1 <-> -u1 < 0))
18	14, 17	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0 < 1 <-> -u1 < 0)
19	16, 18	mpbi 206	. . . . . . 7 |- -u1 < 0
20		eflegeolem2.2	. . . . . . . 8 |- (0 <_ A /\ A < 1)
21	20	simpli 347	. . . . . . 7 |- 0 <_ A
22	14	renegcli 6576	. . . . . . . 8 |- -u1 e. RR
23		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
24	22, 23, 6	ltletri 6762	. . . . . . 7 |- ((-u1 < 0 /\ 0 <_ A) -> -u1 < A)
25	19, 21, 24	mp2an 761	. . . . . 6 |- -u1 < A
26	20	simpri 351	. . . . . 6 |- A < 1
27	15, 25, 26	mpbir2an 800	. . . . 5 |- (abs` A) < 1
28	11, 7, 27	geolimi 8498	. . . 4 |- ( + seq0 G) ~~> (1 / (1 - A))
29	13, 28	eqbrtrri 3358	. . 3 |- (<.0, + >. seq G) ~~> (1 / (1 - A))
30	10, 29	pm3.2i 307	. 2 |- ((<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A) /\ (<.0, + >. seq G) ~~> (1 / (1 - A)))
31		0z 7355	. . 3 |- 0 e. ZZ
32		elfznn0 7668	. . . . . . . 8 |- (k e. (0...n) -> k e. NN0)
33	3	eftval 8578	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
34		reeftcl 8636	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((A^k) / (!` k)) e. RR)
35	6, 34	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) e. RR)
36	33, 35	eqeltrd 1971	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. RR)
37	32, 36	syl 12	. . . . . . 7 |- (k e. (0...n) -> (F` k) e. RR)
38	37	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.k e. (0...n)(F` k) e. RR
39	4	serzrecl 8310	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>=` 0) /\ A.k e. (0...n)(F` k) e. RR) -> ((<.0, + >. seq F)` n) e. RR)
40	38, 39	mpan2 760	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` 0) -> ((<.0, + >. seq F)` n) e. RR)
41		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> (A^j) = (A^k))
42		oprex 4907	. . . . . . . . . 10 |- (A^k) e. _V
43	41, 11, 42	fvopab4 4743	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (G` k) = (A^k))
44		reexpcl 7823	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A^k) e. RR)
45	6, 44	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. RR)
46	43, 45	eqeltrd 1971	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (G` k) e. RR)
47	32, 46	syl 12	. . . . . . 7 |- (k e. (0...n) -> (G` k) e. RR)
48	47	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.k e. (0...n)(G` k) e. RR
49	12	serzrecl 8310	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>=` 0) /\ A.k e. (0...n)(G` k) e. RR) -> ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR)
50	48, 49	mpan2 760	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` 0) -> ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR)
51	6, 21	eflegeolem1 8678	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) <_ (A^k))
52	51, 33, 43	3brtr4d 3367	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (F` k) <_ (G` k))
53	32, 52	syl 12	. . . . . . . 8 |- (k e. (0...n) -> (F` k) <_ (G` k))
54	37, 47, 53	3jca 1050	. . . . . . 7 |- (k e. (0...n) -> ((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)))
55	54	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.k e. (0...n)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))
56	4, 12	serzcmp 8314	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>=` 0) /\ A.k e. (0...n)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n))
57	55, 56	mpan2 760	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` 0) -> ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n))
58	40, 50, 57	3jca 1050	. . . 4 |- (n e. (ZZ>=` 0) -> (((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n)))
59	58	rgen 2159	. . 3 |- A.n e. (ZZ>=` 0)(((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n))
60	31, 59	pm3.2i 307	. 2 |- (0 e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` 0)(((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n)))
61		oprex 4907	. . 3 |- (<.0, + >. seq F) e. _V
62		oprex 4907	. . 3 |- (<.0, + >. seq G) e. _V
63		fvex 4689	. . 3 |- (exp` A) e. _V
64		oprex 4907	. . 3 |- (1 / (1 - A)) e. _V
65	61, 62, 63, 64	climcmp 8398	. 2 |- ((((<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A) /\ (<.0, + >. seq G) ~~> (1 / (1 - A))) /\ (0 e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>=` 0)(((<.0, + >. seq F)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq G)` n) e. RR /\ ((<.0, + >. seq F)` n) <_ ((<.0, + >. seq G)` n)))) -> (exp` A) <_ (1 / (1 - A)))
66	30, 60, 65	mp2an 761	1 |- (exp` A) <_ (1 / (1 - A))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774   seq0 cseq0 7775  ^cexp 7811  abscabs 8000  !cfa 8183   ~~> cli 8234  expce 8555

This theorem is referenced by:  eflegeoi 8680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

Copyright terms: Public domain